Abstellraum: Strukturwissenschaften: Matrizen

Allgemein

Matrizen sind ein sehr wichtiges mathematisches Werkzeug. Zum Beispiel lässt sich jede Tabelle mit Zahleneinträgen als Matrix auffassen. Auch in der Programmierung mathematischer Strukturen wird mit Matrizen gerechnet. Elementare Berechnungen in der 3D-Programmierung, z.B Rotation oder Spiegelungen, gehören dazu.

Definition: Eine Matrix $M$ ist eine rechteckige Anordnung von $m*n$ reellen Zahlen $a_{ij}$.

Für die Zeilenanzahl m gilt 1 <= i <= m und analog für die Spaltenanzahl n: 1 <= j <= n.

$A:={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

nennt man eine Matrix vom Format $(m\times n)$.

Besondere Matrizen

quadratische Matrix

Ist die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten, so heißt die Matrix quadratisch. Ihr Format m * n nennt man dann auch die Ordnung der Matrix. Elemente mit gleichem Zeilen- und Spaltenindex i = j heißen Hauptdiagonalelemente.

Diagonalmatrix

Diagonalmatrizen sind quadratische Matrizen, bei denen alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind.

Einheitsmatrix

Einheitsmatrizen sind Diagonalmatrizen, deren Hauptdiagonalelemente gleich eins sind.

Die quadratische Matrix $E_{n}$ mit n Hauptdiagonalelementen $a_{ij}=1$ und sonst 0, nennt man n-dimensionale Einheitsmatrix.

$E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}$

Operationen

Summe

Aus zwei Matrizen kann eine Summe gebildet werden, wenn sie formatgleich sind, d.h. sie die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten aufweisen. Es werden jeweils die Elemente addiert, die den gleichen Index haben.

$U+V={\begin{pmatrix}u_{11}&\cdots &u_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m1}&\cdots &u_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{11}&\cdots &v_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{m1}&\cdots &v_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{11}+v_{11}&\cdots &u_{1n}+v_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m1}+v_{m1}&\cdots &u_{mn}+v_{mn}\end{pmatrix}}$

Multiplikation mit Skalaren

Eine Matrix kann mit einer Zahl $\lambda$ multipliziert werden. Hierzu wird jedes Element der Matrix mit $\lambda$ multipliziert. $\lambda *A=\lambda *{\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}$

Multiplikation zweier Matrizen

Die Multiplikation zweier Matrizen gestaltet sich etwas schwieriger.

Als Vorbedingung müssen die Matrizen, die multipliziert werden sollen, formatverträglich sein, d.h. ein bestimmtes Format haben:

Ist die erste Matrix vom Format (m x n), also m Zeilen und n Spalten, so muss die zweite Matrix n Zeilen und eine beliebige Anzahl p Spalten besitzen. Ihr Format ist also (n x p). Das Matrizenprodukt ist dann eine Matrix des Formats (m x p).

$Merkregel:(m\times n)*(n\times p)=(m\times p)$

Die Berechnung läßt sich mathematisch recht einfach schreiben.

Jedes Element der Ergebnismatrix C = A * B berechnet sich folgendermaßen:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}*b_{jk}),i=1..m,k=1..p$

in Worten: Um das Element der Ergebnismatrix C in der Zeile i und der Spalte j zu berechnen $c_{ij}$, nimmt man aus der Matrix A die i. Zeile und aus der Matrix B die j. Spalte (am besten bunt markieren). Aus diesen multipliziert man die ersten Elemente miteinander, dann die zweiten, dann die dritten usw.. Zum Schluß bildet man aus diesen Produkten die Summe.

Ein Beispiel: ${\begin{pmatrix}2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&3\\2&2\\3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(2*1+3*2+4*3)&(2*3+3*2+4*1)\\(3*1+4*2+5*3)&(3*3+4*2+5*1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20&16\\26&22\\\end{pmatrix}}$