Analysis: Folgen und Reihen: Konvergenz

Der Grenzwert einer Folge

Ein Beispiel

Um den Begriff des Grenzwerts einer Folge zu verstehen, betrachten wir zunächst ein Beispiel. Schauen wir uns mal die so genannte harmonische Folge $a_{n}=1/n$ an. Sie besitzt die Folgenglieder:

{\tfrac {1}{1}},\ {\tfrac {1}{2}},\ {\tfrac {1}{3}},\ {\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{5}},\ {\tfrac {1}{6}},\ {\tfrac {1}{7}},\cdots

Hier das Diagramm mit den ersten 10 Folgengliedern:

Man erkennt, dass die Folgenglieder immer kleiner werden (diese Folge fällt streng monoton). Jedoch sind alle Folgenglieder größer als 0. Umgangsprachlich ausgedrückt, können wir sagen, dass die Folge "unendlich nah" an 0 geht, diese jedoch nie erreicht. Um mit dieser Eigenschaft von Folgen umgehen zu können und in der Mathematik arbeiten zu können, ist es notwendig, den Begriff der "unendlich an einen bestimmten Wert strebenden Folge" zu formalisieren. Hierfür wurde der Begriff der Konvergenz bzw. des Grenzwerts einer Folge definiert.

Um den Grenzwert einer Folge zu definieren, geht die Mathematik folgendermaßen vor: Eine Folge besitzt genau dann einen Grenzwert, wenn, egal welchen Abstand wir uns ausdenken, es einen Punkt in der Folge gibt, ab dem der Abstand der Folgenglieder zu diesem Grenzwert kleiner ist als unser ausgedachter Abstand. Dies bedeutet, dass eine Folge genau dann einen Grenzwert besitzt, wenn die Folgenglieder irgendwann beliebig nahe an diesem Grenzwert liegen. Wenn eine Folge einen Grenzwert $g$ besitzt, drückt dies ein Mathematiker auch dadurch aus, indem er sagt, die Folge konvergiert gegen $g$ .

Schauen wir uns mal an, was dies für unsere harmonische Folge bedeutet. Denken wir uns einen beliebigen Abstand $\epsilon$ aus, welcher größer als 0 ist (hier ist das berüchtigte $\epsilon$ , das du wahrscheinlich schon kennen wirst ^^). Beachte, dass die Formulierung "wir denken uns ein beliebiges $\epsilon$ größer 0 aus..." gleichbedeutend ist mit "für alle $\epsilon$ größer 0 gilt...", da wir uns jedes $\epsilon$ größer 0 hätten ausdenken können (die folgenden Überlegungen sind nicht auf ein bestimmtes $\epsilon$ festgelegt!). Sei z. B. $\scriptstyle \varepsilon =0{,}5$ , dann ist der Abstand des Folgeglieds $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$ zur Zahl 0 ab dem Folgenindex $n=3$ kleiner als $\scriptstyle \varepsilon =0{,}5$ (ab dem Folgenindex 3 besitzt die harmonische Folge die Folgenglieder ${\tfrac {1}{3}},\ {\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{5}},\cdots$ , deren Abstand zu 0 stets kleiner als unser gewähltes $\scriptstyle \varepsilon =0{,}5$ ist). Für $\epsilon =0,1$ ist der Abstand von $a_{n}$ ab $n=11$ und für $\scriptstyle \varepsilon =0{,}00001$ ist der Abstand von $a_{n}$ ab $n=100001$ zur Zahl 0 kleiner als das jeweils gewählte $\epsilon$ . Allgemein gilt für jedes von uns gewählte $\scriptstyle \varepsilon >0$ , dass wir eine Stelle in der Zahlenfolge $a_{n}$ finden, ab der der Abstand von $a_{n}$ kleiner als $\epsilon$ ist (der Index dieser Stelle ist im übrigen die erste natürliche Zahl, die größer ist als $1/\varepsilon$ ). Dementsprechend ist der Grenzwert der harmonischen Folge gleich 0 bzw. die harmonische Folge konvergiert gegen 0.

Wenn wir nun diese von uns formulierte Definition in die Sprache der Mathematik übersetzen, erhalten wir die Definition des Grenzwertes, wie du ihn sicherlich schon aus vielen Lehrbüchern kennst bzw. ihn kennen lernen wirst:

Formale Definition

Zunächst schauen wir uns die formale Definition des Grenzwerts an:

Eine Folge $(a_{n})$ konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert $g$ , wenn es zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$ mit $\epsilon >0$ ein $m\in \mathbb {N}$ gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen $n\geq m$ gilt, dass $|a_{n}-g|<\epsilon$ ist. Oder in symbolische Schreibweise:

\forall \epsilon \in \mathbb {R} :\exists m\in \mathbb {N} :\forall n\in \mathbb {N} :n\geq m\Rightarrow |a_{n}-g|<\epsilon

Falls du ein Problem mit dem Verständnis dieser Definition haben solltest (dafür bist du ja auf dieser Seite ^^), hier dieselbe Defintion mit einigen in Klammern gesetzten Anmerkungen:

Eine Folge $(a_{n})$ konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert $g$ , wenn es zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$ ( $\epsilon$ ist der in unserer obigen Definition ausgedachte, beliebige Abstand) mit $\epsilon >0$ (um die beliebige Nähe zu definieren, muss der Abstand $\epsilon$ positiv sein) ein $m\in \mathbb {N}$ gibt ( $m$ ist die Stelle nach unserer obigen Definition, ab der die Folge einen kleineren Abstand zum Grenzwert hat als $\epsilon$ ), so dass für alle natürlichen Zahlen $n\geq m$ gilt ( $n$ bezeichnet hier alle Folgenindizies ab dem Folgenindex $m$ ), dass $|a_{n}-g|<\epsilon$ ist ( $|a_{n}-g|$ ist der Abstand des Folgenglieds $n$ zum Grenzwert $g$ ; dieser Abstand soll ja für alle Folgenglieder ab dem Folgenglied $m$ kleiner sein als jeder beliebige Abstand $\epsilon$ ).