Bei einer Funktion wird jeder reellen Zahl x aus einer Menge Df genau eine reelle Zahl y zugeordnet. Im Folgenden wird untersucht, unter welchen Bedingungen die Umkehrung dieser Zuordnung ebenfalls eine Funktion ist und wie man gegebenenfalls ihren Funktionsterm erhält.
Nehmen wir
. Jeder Zahl x aus der Definitionsmenge Df wird eindeutig eine Zahl y aus der Wertemenge Wf zugeordnet, z.B.
. Geht man umgekehrt vom y-Wert 4 aus, wird man nicht zu einem eindeutig bestimmten x-Wert geführt: sowohl 2 als auch -2 kommen in Frage. Die umgekehrte Zuordnung
ist damit keine Funktion.
Betrachtet man hingegen
, findet man von jedem y-Wert ausgehend immer nur einen x-Wert. Damit ist die umgekehrte Zuordnung
auch eine Funktion.
Definition: Eine Funktion
mit der Definitionsmenge
und der Wertemenge
heißt umkehrbar,
falls es zu jedem
nur ein
mit
gibt.
Ist eine Funktion umkehrbar, so heißt die Zuordnung
Umkehrfunktion und wird mit
(lies: f quer) bezeichnet.
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.
Die Funktion
und ihre Umkehrfunktion
haben in einem gemeinsamen Koordinatensystem denselben Graphen. Will man für
die Darstellung
mit
, so muss man die Variablen umbenennen: x wird zu y und y zu x ("Variablentausch").
Zu jedem Punkt
des Graphen von
gehört dann ein Punkt
des Graphen von
.
Man erhält den Graphen von
, indem man den Graphen von
an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt.
An der umkehrbaren Funktion
mit
wird gezeigt, wie man
ermitteln kann.
bestimmen:
Es gilt
für
, aufgrund der strengen Monotonie von
ist
.
- Auflösen der Gleichung
nach x:
Mit
gilt
oder
und damit
oder
.
Da
ist, muss
ausgeschlossen werden.
- Variablentausch;
angeben:
Aus
erhält man nun
.
Damit ist
mit
die Umkehrfunktion von
.
Hat der Graph von
eine Tangente im Punkt
, so hat der Graph von
im Punkt
ebenfalls eine Tangente.
Dies bedeutet: Ist
an der Stellex0 differenzierbar mit
, dann ist
an der Stelle
ebenfalls differenzierbar.
Aus den beiden Steigungsdreiecken der Tangenten lässt sich unmittelbar ablesen, dass
und
Kehrwerte voneinander sind. Damit ist der folgende Satz anschaulich begründet.
Satz: Ist die Funktion
in einem Intervall I umkehrbar und differenzierbar mit
für
,
dann ist die Umkehrfunktion
ebenfalls differenzierbar und es gilt:
mit
bzw.
.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion
und ihre Ableitung
Die Umkehrfunktion lautet
- Berechnen von

- Ersetzen von x durch
