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Aufgabensammlung Mathematik: Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder kompakt

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Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder kompakt

Beweise, dass jedes Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung kompakt ist.

Beweis

Sei eine Indexmenge und sei eine Überdeckung offener Mengen von . Da stetig ist, ist für jedes die Menge offen im topologischen Raum . Wegen ist eine offene Überdeckung von . Da kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von über . Damit ist aber auch eine endliche und offene Überdeckung von . Würde nämlich das Bild nicht überdecken, dann gäbe es ein und damit

und somit wäre keine offene Überdeckung von . Dies beweist, dass kompakt ist.