Aufgabensammlung Mathematik: Die Distanzfunktion zwischen einer Menge und einem Punkt

Die Distanzfunktion zwischen einer Menge und einem Punkt

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Die Distanz zwischen einem Punkt $x\in X$ und einer Menge $A\subseteq X$ sei definiert durch $\operatorname {dist} (x,A):=\inf _{a\in A}\{d(x,a)\}$. Beweise:

1. Die Funktion $\operatorname {dist} _{A}:X\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto \operatorname {dist} (x,A)$ ist Lipschitz-stetig.
2. Ist $A$ abgeschlossen, dann gilt $x\in A\Leftrightarrow \operatorname {dist} (x,A)=0$

Teilaufgabe 1

Sei $A\subseteq X$ und $x,y\in X$ beliebig. Es ist

${\begin{aligned}\operatorname {dist} _{A}(x)&=\operatorname {dist} (x,A)\\&=\inf _{a\in A}\{d(x,a)\}\\&\leq \inf _{a\in A}\{d(x,y)+d(y,a)\}\\&=d(x,y)+\inf _{a\in A}\{d(y,a)\}\\&=d(x,y)+\operatorname {dist} (y,A)\\&=d(x,y)+\operatorname {dist} _{A}(y)\end{aligned}}$

Damit folgt $d(x,y)\geq \operatorname {dist} _{A}(x)-\operatorname {dist} _{A}(y)$. Analog kann man $d(y,x)\geq \operatorname {dist} _{A}(y)-\operatorname {dist} _{A}(x)$ beweisen. Ingesamt folgt die Ungleichung $\left|\operatorname {dist} _{A}(x)-\operatorname {dist} _{A}(y)\right|\leq d(x,y)$. Dies beweist, dass $\operatorname {dist} _{A}$ Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten 1 ist.

Teilaufgabe 2

Behauptung 1: $x\in A\Rightarrow \operatorname {dist} (x,A)=0$

${\begin{aligned}&x\in A\\\Rightarrow \ &0\leq \operatorname {dist} (x,A)=\inf _{a\in A}\{d(x,a)\}{\stackrel {x\in A}{\leq }}d(x,x)=0\\\Rightarrow \ &\operatorname {dist} (x,A)=0\end{aligned}}$

Behauptung 2: $\operatorname {dist} (x,A)=0\Rightarrow x\in A$

${\begin{aligned}&\operatorname {dist} (x,A)=\inf _{a\in A}\{d(x,a)\}=0\\[3px]\Rightarrow \ &\forall \varepsilon >0\,\exists a\in A:d(x,a)<\varepsilon \\[3px]\Rightarrow \ &\forall \varepsilon >0\,\exists a\in A:a\in B_{\varepsilon }(x)\\[3px]\Rightarrow \ &x{\text{ ist kein innerer Punkt von }}A^{C}\\[3px]&\qquad \left\downarrow \ A^{C}{\text{ ist offen}}\right.\\[3px]\Rightarrow \ &x\in A\end{aligned}}$