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Aufgabensammlung Mathematik: Grundlegende Beweise für offene und abgeschlossene Mengen

Aus Wikibooks

Grundlegende Beweise für offene und abgeschlossene Mengen

Sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge von . Sei das Innere und der Abschluss von . Man Beweise

  1. ist genau dann offen, wenn
  2. ist offen
  3. ist genau dann abgeschlossen, wenn
  4. ist abgeschlossen
  5. Der Rand von ist abgeschlossen


Beweis

Teilaufgabe 1

Behauptung 1.1:

Wenn offen ist, dann ist jedes Element von ein innerer Punkt von , denn ( ist Element der offenen Teilmenge von ).

Behauptung 1.2:

Sei und damit jedes Element von ein innerer Punkt von . Damit existiert für jedes mindestens eine offene Menge mit . Es ist

Weil jede Vereinigung offener Mengen wieder offen ist und eine Vereinigung offener Mengen ist, ist auch offen.

Teilaufgabe 2

Sei ein innerer Punkt von , also . Es gibt dann eine offene Menge mit . Ebenso ist aber jedes Element von ein innerer Punkt von und damit . Damit ist aber auch ein innerer Punkt von . Es folgt und damit ist offen.

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

Sei , also ist kein Berührungspunkt von . Es gibt dann eine offene Menge mit . Für alle gilt , womit kein Berührungspunkt von enthält. Es folgt und damit ist ein innerer Punkt von . Es folgt . ist damit offen und somit abgeschlossen.

Teilaufgabe 5

Es ist

Nun ist die Menge offen, denn

und somit ist als Vereinigung der beiden offenen Mengen und wieder offen. Weil offen ist, ist abgeschlossen.