Aufgabensammlung Mathematik: Vollständigkeit

Vollständigkeit

Der Raum beschränkter Funktionen

Seien $(D,d_{D})$ und $(Z,d_{Z})$ beliebige metrische Räume, wobei $Z$ ein vollständiger Raum ist. Sei $B(D,Z)$ die Menge aller beschränkter Funktionen von $D$ nach $Z$. Dabei ist eine Funktion $f:D\rightarrow Z$ genau dann beschränkt, wenn das Bild $f(D)$ beschränkt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\sup \limits _{x,y\in D}\{d_{Z}(f(x),f(y))\}<\infty$ ist. Es ist also

$B(D,Z):=\left\{f:D\rightarrow Z\,:\,\sup \limits _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f(y))\right\}<\infty \right\}$

In diesem Projekt werden wir beweisen, dass $B(D,Z)$ unter der Metrik $d_{B}(f,g):=\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}$ ein vollständiger Raum ist.