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Aufgabensammlung Mathematik: Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls

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Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls

Sei ein metrischer Raum und sowie beliebig. Sei der Abschluss des offenen Balls . Sei außerdem der abgeschlossene Ball um mit Radius . Beweise

  1. Ist ein normierter Raum mit als Norm, so ist .
  2. Es gibt metrische Räume mit einem Punkt und einem Radius , so dass .

Beweis

Beweis zu

ist eine abgeschlossene Menge (Beweis siehe diese Aufgabe). Außerdem enthält nach Definition alle Element von . Da der Abschluss der Menge ist, ist es der Schnitt aller abgeschlossener Mengen, die enthalten. Damit ist auch eine solche Menge des Schnitts und somit .

Beweis, dass ist, wenn ein normierter Raum ist

Gerade haben wir bewiesen, dass ist. Somit muss nur noch bewiesen werden. Sei beliebig. Ist so ist .

Sei nun . Wir betrachten nun die Folge . Es ist

Damit ist für alle das Folgenglied . Außerdem gilt:

Damit ist . Da aber für alle das Folgenglied ist nach Definition des Abschlusses .

Damit ist , was zu zeigen war.

Beweis, dass es metrische Räume mit gibt

Sei ausgestattet mit der diskreten Metrik . Es ist

Außerdem ist

Damit ist

.