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Aufgabensammlung Physik: Herleitung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung

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Leite die Wahrscheinlichkeitsdichte der Maxwell-Boltzmann-Verteilung her. Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschreibt die statistische Verteilung der Geschwindigkeit für Teilchen eines idealen Gases. Damit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Teilchen den Geschwindigkeitsvektor besitzt. Die Masse der Teilchen sein .

Es bieten sich folgende Ansätze für die Herleitung an:

  1. Herleitung in der kinetischen Gastheorie: Gehe davon aus, dass die Geschwindigkeitsverteilung isotrop, unabhängig von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist. Außerdem ist die Geschwindigkeitsverteilung unabhängig in den drei Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors . Es ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Geschwindigkeitskoordinate einen bestimmten Wert annimmt, unabhängig davon, welche Werte die anderen Geschwindigkeitskomponenten und haben. Analoges gilt für und . Nehme auch an, dass die Dichtefunktion der Geschwindigkeitsverteilung stetig ist. Um freie Parameter zu bestimmen, kannst die Formel für die mittlere Energie eines Teilchen in einem idealen Gas verwenden.
  2. Herleitung aus dem kanonischem Ensemble

Herleitung in der kinetischen Gastheorie

Anfang

Die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion ist auf jeder Kugeloberfläche im Raum der Geschwindigkeitsvektoren konstant.

Sei die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Komponente des Geschwindigkeitsvektors den Wert besitzt. Seien entsprechend und die Wahrscheinlichkeiten, dass die zweite bzw. dritte Geschwindigkeitskomponente ist.

Da die Geschwindigkeitsverteilung isotrop ist, ist . Sei nun .

Aus der Unabhängigkeit der Geschwindigkeitsverteilung in den drei Komponenten folgt

ist also vollständig durch bestimmt.

Die Geschwindigkeitsverteilung ist unabhängig von der Richtung. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für alle Geschwindigkeitsvektoren gleich, die den gleichen Betrag haben, aber in eine andere Richtung zeigen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist also auf der Kugeloberfläche mit Radius konstant.

ist normalverteilt

Ich werde die Normalverteilung dadurch beweisen, dass proportional zu für eine Konstante ist.

Warum das ausreicht

Zunächst kann man zeigen, dass negativ sein muss. Wäre nämlich positiv oder Null, dann würde das Integral wegen divergieren. Dies widerspricht aber der Bedingung an eine Dichtefunktion , dass das Integral ist.

Es ist also damit mit und . Um zu zeigen, dass normalverteilt, also von der Form ist, setze und (weil negativ ist, ist positiv und damit die Wurzel existend). Insgesamt ist dann . Aus der Bedingung , die als Dichtefunktion erfüllen muss, folgt und damit insgesamt . Also ist normalverteilt.

Der eigentliche Beweis

Ich muss also nur noch zeigen, dass proportional zu für eine Konstante ist. Hierzu nutze ich aus, dass die Exponentialfunktionen , die einzigen stetigen Funktionen sind, die die Funktionalgleichung erfüllen. Um diese Funktionalgleichung herzuleiten, betrachte einen konkreten Vektor . Zum einen ist

Zum anderen haben die Vektoren und den gleichen Betrag und wegen Isotropie gilt

Durch Gleichsetzen beider Gleichungen erhält man

ist ungleich Null

Gerade habe ich durch geteilt. Wieso ist ungleich Null?

Wäre , dann wäre für jedes , denn

Dies steht aber im Widerspruch dazu, dass eine Dichtefunktion für die Geschwindigkeitsverteilung ist (die Wahrscheinlichkeit für alle Geschwindigkeiten wäre Null, aber irgendeine Geschwindigkeit muss ja das Teilchen haben!).

Weiterer Schritt

Mit habe ich eine Gleichung gefunden, die Ähnlichkeiten mit der Funktionalgleichung aufweist.

Ich definiere nun implizit über . Man könnte zunächst vermuten, dass diese Definition nicht wohldefiniert ist, da beispielsweise wegen der Wert sowohl als auch sein müsste. Aber kann ja schlecht zwei unterschiedliche Werte annehmen.

Wieso ist wohldefiniert? ist eine gerade Funktion, es ist also . Dies folgt aus der Isotropie der Geschwindigkeitsverteilung, da

wegen ist (den Vorfaktor erhält man aus ).

Wegen ist die obige implizite Definition für wohldefiniert und man kann explizit setzen (Die explizite Form habe ich erhalten, indem ich setze. Da es egal ist, welche Wurzle ich nehme, definiere ich für meine explizite Funktion).

Mit der obigen Definition von erhält man

Letzter Schritt

Es ist . Da stetig ist ( ist nach Voraussetzung stetig), ist für ein konstantes . Wegen folgt und damit die gewünschte Proportionalität ( ist ein konstanter Vorfaktor). Wie bereits vorher gezeigt, folgt aus dieser Proportionalität die Normalverteilung von .

Gleichung für

Ich habe bereits gezeigt, dass normalverteilt von der Form ist. Für folgt dann

Der noch nicht bekannte Parameter kann dadurch bestimmt werden, dass man den Erwartungswert für die Energie eines Teilchens bestimmt und diesen mit dem Term aus dem idealem Gasgesetz vergleicht.

Bestimmung von

Der Erwartungswert für die kinetische Energie eines Teilchens ist

Nun soll sein. So kann bestimmt werden

Wenn man dieses Ergebnis zurück in die bereits hergeleitete Gleichung einsetzt bekommt man das Endergebnis

Herleitung aus dem kanonischem Ensemble

Gesucht ist

Dabei steht für die Wahrscheinlichkeit, dass eintritt. Wenn ein Teilchen den Geschwindigkeitsvektor besitzt, dann hat es zwangsläufig auch die Energie mit . Es gilt

ist also das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen die Energie besitzt, und der Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen den Geschwindigkeitkeitsvektor besitzt, wenn man schon weiß, dass dessen Energie ist.

Nach der Boltzmann-Statistik ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen die Energie besitzt, proportional zu mit , wobei die Boltzmann-Konstante ist. Da das Teilchen die Energie besitzt, ist proportional zu .

Da die Geschwindigkeitsverteilung isotrop, also unabhängig von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist, sind die Geschwindigkeitsvektoren bei vorgegebener Energie gleichverteilt, da durch diese vorgegebene Energie der Betrag des Geschwindigkeitsvektors schon eindeutig definiert ist (nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist ungewiss). Damit ist aber konstant. Insgesamt ist

ist also proportional zu . Dabei sind bis die Komponenten des Vektors . Also ist mit einer noch zu bestimmenden Konstante . Durch die Bedingung, dass das Integral über die gesamte Wahrscheinlichkeitsfunktion 1 sein muss, kann bestimmt werden:

Es ist also und somit . Daraus folgt das Endergebnis