Aufgabensammlung Physik: Komplexe Schreibweise elektromagnetischer Wellen

Aufgabe

Elektromagnetische Wellen werden in der Physik häufig als komplexwertige Funktionen dargestellt, obwohl sie Größen beschreiben, die reellwertig sind (die elektrische beziehungsweise die magnetische Feldstärke). Sei $E({\vec {x}},t)$ eine solche komplexwertige Funktion, die die elektrische Feldstärke darstellen soll. Die tatsächliche, reellwertige Feldstärke ist nach Konvention der Realteil $\operatorname {Re} {(E({\vec {x}},t)})$ der Funktion $E({\vec {x}},t)$.

Seien nun zwei (komplexwertige) Wellen $E_{1}({\vec {x}},t)$ und $E_{2}({\vec {x}},t)$ gegeben. Beantworte folgende zwei Fragen, die man sich jetzt stellen könnte:

1. Stell dir vor, dass du die beiden Wellen addieren musst: Ist es egal, ob du zuerst die beiden Wellen komplex addierst und dann den Realteil nimmst oder ob du die Summe der beiden Realteile bildest?
2. Stell dir nun vor, dass du beide Wellen multiplizieren musst: Ist es egal, ob du zuerst beide Wellen komplex multiplizierst und dann den Realteil nimmst oder ob du das Produkt der beiden Realteile nimmst?
3. Welche Eigenschaft muss eine Operation $\circ$, die zwei komplexe Zahlen $x$ und $y$ zu einer neuen $x\circ y$ verknüpft, haben, damit es egal ist, ob man zunächst die beiden Wellen $E_{1}({\vec {x}},t)$ und $E_{2}({\vec {x}},t)$ durch $\circ$ verknüpft und dann den Realteil bildet oder ob man zuerst die Realteile der beiden Wellen berechnet und dann diese Realteile durch $\circ$ zusammen rechnet?

Beweis der 1. Teilaufgabe

Es ist zu beweisen, dass $\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t)+E_{2}({\vec {x}},t))}=\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t))}+\operatorname {Re} {(E_{2}({\vec {x}},t))}$ ist. Dies folgt aber direkt aus Definition der Summe für komplexe Zahlen. Damit ist es bei der Summation komplexer Wellen egal, in welcher Reihenfolge man summiert und den Realteil bildet.}}

Beweis der 2. Teilaufgabe

Es wäre zu beweisen, dass $\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t)\cdot E_{2}({\vec {x}},t))}=\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t))}\cdot \operatorname {Re} {(E_{2}({\vec {x}},t))}$ ist. Dies ist aber nicht der Fall. Nehmen wir dazu an, dass $E_{1}({\vec {x}},t)=E_{2}({\vec {x}},t)=\mathrm {i}$ für ein bestimmtes ${\vec {x}}$ und $t$ ist. Es ist dann

$\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t)\cdot E_{2}({\vec {x}},t))}=\operatorname {Re} {(\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} )}=-1$

und

$\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t))}\cdot \operatorname {Re} {(E_{2}({\vec {x}},t))}=\operatorname {Re} {(\mathrm {i} )}\cdot \operatorname {Re} {(\mathrm {i} )}=0\cdot 0=0$

und damit

$\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t)\cdot E_{2}({\vec {x}},t))}=-1\neq 0=\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t))}\cdot \operatorname {Re} {(E_{2}({\vec {x}},t))}$

Beim Produkt zweier elektrischer Feldstärken muss man also darauf achten, zuerst den Realteil zu bilden und dann zu multiplizieren und nicht umgekehrt.}}

Antwort auf die 3. Teilaufgabe

Es muss $\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t)\circ E_{2}({\vec {x}},t))}=\operatorname {Re} {(E_{1}({\vec {x}},t))}\circ \operatorname {Re} {(E_{2}({\vec {x}},t))}$ gelten. Für alle komplexen Zahlen $x,y\in \mathbb {C}$ muss also

$\operatorname {Re} {(x\circ y)}=\operatorname {Re} {(x)}\circ \operatorname {Re} {(y)}$

sein.