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Aufgabensammlung Physik: Lagrange Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels

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Lagrange Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels

Notiere und berechne für das Doppelpendel:
a) Die Zwangsbedingungen des Systems
b) Die Anzahl der Freiheitsgrade
c) Die Transformationsgleichungen der generalisierten Koordinaten
d) Die kinetischen und potentielle Energie in generalisierten Koordinaten
e) Die Lagrangen Bewegungsgleichungen mit den Lagrangegleichungen 2.Art


Lösung in 2D mit konstanter Fadenlänge

a) Definieren wir zunächst die konstante Fadenlänge des 1. Pendels als mit als Winkel zwschen Faden und y-Achse, und und als Koordinaten des angehängten Massenpunktes. Für das erste Pendel gilt somit als ZB:


analog für das zweite Pendel


wobei

 und 

b) Hier gibt es zwei Massepunkte, also mit 2 ZB (siehe a)) , daher


Das System hat somit noch zwei Freiheitsgrade.

c) Wähle als generalisierte Koordinaten und . Somit können nun die

d)

 
 

e) Nun kann der Lagrangian

  

und folglich die Bewegungsgleichungen daraus abgeleitet werden, da das System holonomen Zwangsbedingungen unterliegt:

Lösung in 3D

Nebenrechnungen