Benutzer:Arbol01/Fibonacci-Folgen Beziehungen

Bestätigt (mit Quelle)

$f_{2n}=f_{n}\cdot l_{n}U(P,Q)_{2n}=U(P,Q)_{n}\cdot V(P,Q)_{n}$

meine Vermutung

Identität von Cassini, Spezialfall der Catalan-Identität:

$f_{n+1}\cdot f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}U(P,Q)_{n+1}\cdot U(P,Q)_{n-1}-U(P,Q)_{n}^{2}=(-1)^{n}$

Rest

• $f_{m+n}=f_{n+1}\;f_{m}+f_{n}\;f_{m-1}$
• $f_{m+n}=f_{n}\;L_{m}+(-1)^{m+1}\;f_{n-m}$ mit der Lucas-Folge $L_{m}=f_{m+1}+\;f_{m-1}=\Phi ^{m}+\Psi ^{m}$, insbesondere:
• $f_{2n}=f_{n}\;L_{n}=f_{n}\;(f_{n+1}+f_{n-1})$
• $\operatorname {ggT} (f_{m},f_{n})=f_{\operatorname {ggT} (m,n)}$
• $m\mid n\implies f_{m}\mid f_{n}$; falls $m>2$ ist, gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann $f_{n}$ für $n>4$ nur dann eine Primzahl sein, wenn $n$ eine Primzahl ist.

Identität von Catalan:

• $f_{n+1}f_{n-1}+f_{n}^{2}=(-1)^{n}$

Identität von d'Ocagne:

• $f_{m}\;f_{n+1}-f_{n}\;f_{m+1}=(-1)^{n}f_{m-n}$

Identität von Rasinger:

• ${\frac {f_{n+m+k}}{f_{n}\cdot f_{m}}}={\frac {f_{n+k}}{f_{m}\cdot f_{n-m}}}+{\frac {f_{m+k}}{f_{n}\cdot f_{m-n}}}$

Weitere Beziehungen:

• $f_{n}^{2}+f_{n+1}^{2}=f_{2n+1}$
• $f_{n+1}^{2}-f_{n-1}^{2}=f_{2n}$
• $f_{2n+1}^{2}=f_{2n}^{2}+f_{2n}f_{2n+1}+1$

Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.