Benutzer:Arbol01/Lucas-Folgen

Unter einer Lucas-Folge versteht man Folgen der Form $U(P,Q)\$ beziehungsweise $V(P,Q)\$.

Dabei wir die Folge $U(P,Q)\$ aus den Gliedern $U_{0}(P,Q),U_{1}(P,Q),U_{2}(P,Q),...,U_{n}(P,Q)\$ gebildet, auch kurz $U(P,Q)=(U_{n}(P,Q))_{n\geq 0}$ geschrieben.

Das gleiche gilt auch für $V(P,Q)\$.

Was jetzt fehlt ist, was die Glieder $U_{n}(P,Q)\$ und $V_{n}(P,Q)\$ sind.

Das Glied $U_{n}(P,Q)\ ={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\$ und das Glied $V_{n}(P,Q)\ =a^{n}+b^{n}\$.

Wo kommen nun auf einmal a und b her?

Es gibt quadratische Gleichungen der Form $x^{2}+Px+Q=0\$. Zu dieser Gleichung gibt es zwei Lösungen $x_{1}\$ und $x_{2}\$, die sich über die pq-Formel berechnen lassen:

$a=x_{1}={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4q}}}{2}}$ und $b=x_{2}={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4q}}}{2}}$

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P	Q	a	b	U(P,Q)	V(P,Q)
1	-1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$	Fibonacci-Folge	Lucas-Folge
2	-1	$1+{\sqrt {2}}$	$1-{\sqrt {2}}$	Pell-Folge	Companion Pell-Folge
1	-2	${\frac {1+{\sqrt {9}}}{2}}$	${\frac {1-{\sqrt {9}}}{2}}$	Jacobsthal-Folge
A+1	A	A	1	An-1 Folge	An+1 Folge
3	-10	5	-2	{{OEIS|A015528}}
4	-5	5	-1	{{OEIS|A015531}}
5	-6	6	-1	{{OEIS|A015540}}
8	-9	9	-1	{{OEIS|A015577}}

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Q=-1
P	a	b	U(P,Q)	V(P,Q)
1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$	Fibonacci-Folge	Lucas-Folge
2	$1+{\sqrt {2}}$	$1-{\sqrt {2}}$	Pell-Folge	Companion Pell-Folge
3	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	${\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}$	A006190	A006497
4	$2+{\sqrt {5}}$	$2-{\sqrt {5}}$
5	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	${\frac {5-{\sqrt {29}}}{2}}$