Benutzer:Arbol01/v i

Angenommen, du willst die Summe aller geraden Zahlen zwischen 2 und $n\$ bilden. Was beobachest du? Probiere es aus!

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2 = 2 = 1*2		2+4 = 6 = 2*3		2+4+6 = 12 = 3*4		2+4+6+8 = 20 = 4*5

Bei der Beobachtung kommt man zu der Vermutung, das folgender Zusammenhang besteht: $\sum _{i=1}^{n}2i=n\cdot (n+1)$. Man kann nun jetzt für etliche $n\$ testen, ob der Zusammenhang für diese $n\$ zutrifft. Doch damit hat man noch keinen Beweis für diesen Zusammenhang.

Wenn die Formel $\sum _{i=1}^{n}2i=n\cdot (n+1)$ stimmen soll, dann müssen verschiedene Dinge zutreffen:

• $\sum _{i=1}^{n}2i+2(n+1)=\sum _{i=1}^{n+1}2i$

• $\sum _{i=1}^{n}2i+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1)$

• $\sum _{i=1}^{n+1}2i=(n+1)\cdot (n+2)$

• $n(n+1)+2(n+1)=(n+1)\cdot (n+2)$

Das letzte ist die Perle, die jetzt bewiesen werden muß. Nur die Perle hinzuschreiben, reicht als Beweis nicht aus.

• $n(n+1)+2(n+1)=(n+1)\cdot (n+2)$

• $n^{2}+n+2n+2=n^{2}+2n+n+2\$

• $n^{2}+3n+2=n^{2}+3n+2\$

Damit ist die vollständige Induktion für $\sum _{i=1}^{n}2i=n(n+1)$ abgeschlossen und bewiesen.