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Gesetzt den Fall, die Ausgangsgleichung dritten Grades besitzt die allgemeine Form
kann diese zunächst per Division durch A in die Normalform
und diese anschließend noch einmal durch Substitution
in die reduzierte Normalform
überführt werden, in der die beiden Parameter p und q folgende Werte haben:
und
Ein für den weiteren Fortgang der Rechnung entscheidender Wert schließlich ist die sich aus p und q errechnende „Diskriminante“ der reduzierten Normalform
Ist Δ positiv, was einem über den gesamten Definitionsbereich streng monoton steigenden Kurvenverlauf mit lediglich einer reellen und/oder außerdem zwei komplexen Nullstellen entspricht, errechnet sich diese reelle Nullstelle der reduzierten Normalform als Summe
aus der sich schließlich durch Resubstitution die Lösung der Normalform der kubischen Ausgangsgleichung
beziehungsweise
ergibt.
Im Fall des sogen. Casus irreducibilis dagegen, der einem Kurvenverlauf mit drei reellen Nullstellen entspricht, ist Δ negativ und die drei Nullstellen errechnen sich, anders als zuvor, wie folgt:
Für den Zusammenhang zwischen Ausgangskonzentration c0 und Oxoniumionen-Konzentration [H3O+] einer Säure ergibt sich unter Einbeziehung der Stoffmengen- und Ladungsbilanz zunächst einmal die nachstehende Gleichung dritten Grades
beziehungsweise
deren Umstellung nach der Oxoniumionen-Konzentration [H3O+] eine Möglichkeit liefern sollte, diese nicht nur mit Hilfe von Näherungsformeln schätzen, sondern exakt aus der jeweiligen Ausgangskonzentration c0berechnen zu können. Das jedoch macht, da es sich bei vorstehender Gleichung um ein Polynom dritten Grades handelt, den Einsatz der cardanischen Formeln und ggf. auch den Rückgriff auf komplexe Zahlen nötig.
die erkennen lassen, dass es sich bei c0([H3O+]) um eine für positive Oxoniumionen-Konzentrationen [H3O+] streng monoton steigende Funktion mit einem Wendepunkt bei
handelt, die Funktion c0([H3O+]) also auch nur für positive Oxoniumionen-Konzentrationen [H3O+] umkehrbar wäre, mit dem Ergebnis der eigentlich gesuchten Funktion [H3O+](c0).
Für negative Oxoniumionen-Konzentrationen [H3O+] dagegen, deshalb hier zunächst einmal nur von mathematischem Interesse, weist c0([H3O+]) ein Extremum auf, wegen des stets positiven Vorzeichens von c0"([H3O+]) in diesem Bereich genauer gesagt ein Minimum, dessen Lage mit Hilfe der Zählerfunktion und og. cardanischer Formeln bestimmt werden kann.
Ausgangspunkt ist die Normalform der Ausgangsgleichung dritten Grades
aus der sich folgende Parameter ergeben:
Wie zu sehen, ist diese Diskriminante stets positiv, also auch stets nur eine reelle Lösung zu erwarten, der Einfachheit halber hier nur für die beiden Fälle, dass KA2 sehr klein oder sehr groß gegenüber KW sei, diskutiert, wobei "sehr klein gegenüber KW" gleichbedeutend mit der Forderung KA2 ≤ KW/100 und "sehr groß gegenüber KW" gleichbedeutend mit KA2 ≥ KW*100 sein soll:
angewandt, liefert das Cardanische Verfahren dagegen zunächst einmal
Wie die Vorzeichenanalyse der Diskriminante Δ zeigt, muss Δ für positive Ausgangskonzentration c0 stets negativ sein, was heißt, dass der damit vorliegende casus irreducibilis – selbst wenn alle drei Lösungen reellwertig sein sollten – ohne Rückgriff auf komplexe Zahlen unlösbar ist.
Herleitung Formel II (über Dissoziationskonstante und Verdünnungsgesetz)