Beweisarchiv: Algebra
Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville · Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e · Die Existenz der reellen Wurzel Moduln: freie Moduln sind projektiv
Seien
n
,
m
∈
N
{\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }
n
,
m
≥
1
{\displaystyle n,m\geq 1}
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
L
:
K
n
→
K
m
{\displaystyle L:K^{n}\to K^{m}}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
∈
K
m
×
n
{\displaystyle A\in K^{m\times n}}
L
(
x
)
=
A
x
{\displaystyle L(x)=Ax}
x
∈
K
n
{\displaystyle x\in K^{n}}
Sei
L
{\displaystyle L}
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
K
n
{\displaystyle K^{n}}
i
{\displaystyle i}
A
{\displaystyle A}
A
e
i
:=
L
e
i
{\displaystyle Ae_{i}:=Le_{i}}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
T
∈
K
n
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\in K^{n}}
L
(
x
)
=
L
(
x
1
e
1
+
…
+
x
n
e
n
)
=
L
(
x
1
e
1
)
+
…
+
L
(
x
n
e
n
)
=
x
1
L
(
e
1
)
+
…
+
x
n
L
(
e
n
)
=
x
1
A
e
1
+
…
+
x
n
A
e
n
=
A
(
x
1
e
1
)
+
…
+
A
(
x
n
e
n
)
=
A
(
x
1
e
1
+
…
+
x
n
e
n
)
=
A
x
{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=L(x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n})=L(x_{1}e_{1})+\ldots +L(x_{n}e_{n})\\&=x_{1}L(e_{1})+\ldots +x_{n}L(e_{n})=x_{1}Ae_{1}+\ldots +x_{n}Ae_{n}\\&=A(x_{1}e_{1})+\ldots +A(x_{n}e_{n})=A(x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n})\\&=Ax\\\end{aligned}}}
◻
{\displaystyle \Box }
