Beweisarchiv: Arithmetik: Lösungen von Gleichungen: Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen

Beweisarchiv: Arithmetik

Erklärungsversuch zu einer ramanujanschen Bruchnäherung zur Kreiszahl π

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Lösungen von Gleichungen

Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen ·

Behauptung

Seien $a,b,c$ komplexe Zahlen und $a\neq 0$.

Dann hat die quadratischen Gleichung

     $ax^{2}+bx+c=0$

genau zwei Lösungen (bzw. eine im Fall $b^{2}-4ac=0$), und zwar:

     $x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Beweis (angelehnt an den Satz von Vieta)

Es gilt

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+(-b-{\sqrt {b^{2}-4a}})}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$

und

$x_{1}\cdot x_{2}$	${}={\frac {(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}})\cdot (-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}})}{(2a)^{2}}}$
	${}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}.$

(Bei der zweiten Rechnung wurde die dritte binomische Formel verwendet.)

Nun betrachten wir das Polynom

$a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2}).$

Ausmultiplizieren liefert

$ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2},$

und setzt man die oben ausgerechneten Ausdrücke für $x_{1}+x_{2}$ sowie $x_{1}x_{2}$ ein, erhält man

$ax^{2}-a\cdot {\Big (}{-{\frac {b}{a}}}{\Big )}\cdot x+a\cdot {\frac {c}{a}}=ax^{2}+bx+c,$

also die linke Seite der quadratischen Gleichung.

Zusammengefasst:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).$

Soll nun die linke Seite null sein, so muss auch die rechte null sein. Ein Produkt ist aber genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. $a$ ist nach Voraussetzung ungleich null, also ist $x$ genau dann eine Lösung der quadratischen Gleichung, wenn

$x-x_{1}=0$ oder $x-x_{2}=0,$

oder umgeformt

$x=x_{1}$ oder $x=x_{2}$

gilt.

Also sind $x_{1}$ und $x_{2}$ Lösungen der quadratischen Gleichung, und es gibt keine weiteren.

Beweis (durch quadratische Ergänzung)

Multipliziert man die quadratische Gleichung mit $4a$, so erhält man die Gleichung

$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0,$

die man zu

$(2ax)^{2}+2\cdot (2ax)\cdot b+4ac=0$

umformen kann. Die ersten beiden Terme sehen aus wie das Ergebnis der binomischen Formel für

$(2ax+b)^{2},$

es fehlt also nur das $b^{2}$, das man durch Addition und anschließende Subtraktion ergänzen kann:

$(2ax)^{2}+2\cdot (2ax)\cdot b+b^{2}-b^{2}+4ac=0$

Wendet man nun die binomische Formel an und bringt die letzten beiden Terme der linken auf die rechte Seite, erhält man

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac,$

Wurzelziehen liefert

$2ax_{1/2}+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}},$

und Auflösen nach $x$ (durch Subtraktion von $b$ und anschließender Division durch $2a$) ergibt schließlich

$x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Beweis (unter Verwendung des Satzes von Vieta)

Dividiert man die quadratische Gleichung durch $a$, erhält man

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

Nach dem Satz von Vieta gilt für die zwei Lösungen

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

und

$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Die Idee besteht nun darin, den linearen Ausdruck $x_{1}-x_{2}$, aus dem man zusammen mit $x_{1}+x_{2}$ die beiden Lösungen leicht ausrechnen kann, mit $x_{1}+x_{2}$ und $x_{1}x_{2}$ in Beziehung zu setzen. Da diese beiden Terme symmetrisch in $x_{1}$ und $x_{2}$ sind, quadrieren wir $x_{1}-x_{2}$, um ebenfalls einen symmetrischen Ausdruck, nämlich

$(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$

zu erhalten. Die Terme $x_{1}^{2}$ und $x_{2}^{2}$ kann man in

$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$

wiederfinden, es verbleibt als Differenz $-4x_{1}x_{2}$, d. h.

$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}.$

Mit den Vieta-Formeln ergibt sich also

$(x_{1}-x_{2})^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}$

und folglich

$x_{1}-x_{2}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}$

(Wählt man das andere Vorzeichen für die Wurzel, so vertauscht sich lediglich die Numerierung von $x_{1}$ und $x_{2}$.)

Zusammen mit der Vieta-Formel für $x_{1}+x_{2}$ bildet diese Gleichung nun ein lineares Gleichungssystem, aus dem folgt:

$x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$