Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Satz von Picard-Lindelöf

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf

Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems $y(x_{0})=y_{0}$ nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen $y'(x)=F(x,y(x))$ unter lokal Lipschitz-Stetigkeit von $F$ in der zweiten Variablen. Zudem liefert der Beweis dieses Satzes ein konstruktives Verfahren, die Picard-Iteration, mit dem man die Lösung approximieren kann.

Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Sei $E$ ein Banachraum, $G\subset \mathbb {R} \times E$, $y_{0}\in E,R>0$ mit $[a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\subset G$ und $F=F(x,y):G\rightarrow E$ stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Hierin bezeichnet

${\overline {B}}(y_{0},R):=\{z\in E\ |\ \|z-y_{0}\|\leq R\}$

die abgeschlossene Kugel um $y_{0}$ mit Radius $R$. Ist

$M:=\max\{\|F(x,y)\|\ |\ (x,y)\in [a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\}$

sowie

$\alpha :=\min \left\{b-a,{\frac {R}{M}}\right\}\ ,$

dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}$

auf dem Intervall $[a,a+\alpha ]$; sie hat Werte in ${\overline {B}}(y_{0},R)$.

Beweis

Man betrachte die Picard-Iteration

$y_{0}(x):\equiv y_{0}\ ,\ y_{k+1}(x):=y_{0}+\int _{a}^{x}F(s,y_{k}(s)){\rm {d}}s\ ,\ x\in [a,a+\alpha ]\ .$

Per vollständiger Induktion sieht man aus der Definition von $\alpha$ direkt, dass alle Iterierten $y_{k}$ sämtlich Werte in ${\overline {B}}(y_{0},R)$ annehmen und stetig sind. Da $[a,a+\alpha ]\times {\overline {B}}(y_{0},R)$ kompakt ist, gibt es ein $L\geq 0$, für das

$\|F(x,y)-F(x,z)\|\leq L\|y-z\|$

für alle $x\in [a,a+\alpha ],\ y,z\in {\overline {B}}(y_{0},R)$ gilt. Mit vollständiger Induktion zeigt man

$\|y_{k+1}(x)-y_{k}(x)\|\leq ML^{k}{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}$

auf $[a,a+\alpha ]$. Daraus folgt

$\max _{x\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k+m}-y_{k}\|\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=1}^{m}{\frac {\max _{x\in [a,a+\alpha ]}(L(x-a))^{k+j}}{(k+j)!}}\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(L\alpha )^{j}}{j!}}<\varepsilon$

für alle $m\in \mathbb {N}$ und $k\geq k(\varepsilon )$. Insbesondere ist $(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge im Banachraum $C([a,a+\alpha ];E)$ und konvergiert folglich gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion $y\in C([a,a+\alpha ];E)$. Wegen

$\max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|F(s,y_{k}(s))-F(s,y(s))\|\leq L\max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k}(s)-y(s)\|\rightarrow 0$

folgt

$y(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}F(s,y(s)){\rm {d}}s\ .$

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist $y$ stetig differenzierbar mit $y'(x)=F(x,y(x))$. Die Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit.

$\Box$

Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Es sei $E$ ein Banachraum und $F:[a,b]\times E\to E$ eine stetige Funktion, welche eine globale Lipschitz-Bedingung bezüglich der zweiten Variablen erfüllt. Dann gibt es zu jedem $y_{0}\in E$ eine globale Lösung $y:[a,b]\to E$ des Anfangswertproblems

$y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}\$.

Es gibt keine weiteren (lokalen) Lösungen.

Beweis

Betrachte den Operator $T:C([a,b];E)\rightarrow C([a,b];E)$, definiert vermöge

$T(u)(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}F(t,u(t)){\rm {d}}t\ .$

Die Abbildung $t\mapsto F(t,u(t))$ ist für festes $u\in C([a,b];E)$ auf $[a,b]$ stetig. Insbesondere ist $\|F(t,u(t))\|\leq M$ auf $[a,b]$ für geeignetes $M=M(F,u)\geq 0$. Somit ist das Integral $\int _{a}^{x}F(t,u(t)){\rm {d}}t$ für jedes $x\in [a,b]$ wohldefiniert. Weiter ist

$\|T(u)(x)-T(u)(y)\|\leq \left\|\int _{y}^{x}F(t,u(t)){\rm {d}}t\right\|\leq M|x-y|\ .$

Also gilt $T(u)\in C([a,b];E)$, d.h., der Operator $T$ ist wohldefiniert.

Damit dieser Operator im Sinne des banachschen Fixpunktsatzes kontraktiv ist, stattet man $C([a,b];E)$ mit der gewichteten Supremumsnorm

$\|u\|_{C([a,b];E)}:=\sup _{x\in [a,b]}e^{-2Lx}\cdot \|u(x)\|_{E}$

aus, worin $L\geq 0$ die Lipschitz-Konstante von $F$ in der zweiten Variablen bezeichnet. Da diese Norm äquivalent zur „normalen“ Supremumsnorm ist, bleibt $C([a,b];E)$ auch in dieser Norm ein Banachraum. Es gilt

${\begin{array}{lll}e^{-2Lx}\|T(u)(x)-T(v)(x)\|_{E}&=&e^{-2Lx}\|\int _{a}^{x}F(t,u(t))-F(t,v(t)){\rm {d}}t\|_{E}\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}e^{-2Lt}\|u(t)-v(t)\|_{E}{\rm {d}}t\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}\|u-v\|_{C([a,b];E)}{\rm {d}}t\\&\leq &{\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ .\\\end{array}}$

Also gilt

$\|T(u)-T(v)\|_{C([a,b];E)}\leq {\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ ,$

und somit sind die Voraussetzungen des banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Es gibt daher eine eindeutig bestimmte Lösung $y\in C([a,b];E)$ des Fixpunktproblems

$y(x)=T(y)(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}F(t,y(t)){\rm {d}}t\ .$

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist $y$ stetig differenzierbar mit $y'(x)=F(x,y(x))$.

Wikipedia-Verweis

• Satz von Picard-Lindelöf