Diskussion:Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion

Versionsgeschichte

Der Beweis wurde aus w:Sinus und Kosinus verschoben; Hauptautoren sind Petflo2000 und NeoUrfahraner --NeoUrfahraner 15:08, 30. Dez 2005 (UTC)

Beweis sin/x -> 1

Ein Beweis von $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ ist durch die bekannte Flächenbetrachtung am Einheitskreis dargestellt. Ich erinnere einen Beweis ohne Flächenbetrachtung, der auf der rein längenbasierten Ungleichung $\sin x\leq x\leq \tan x$ beruht und dann nach Kehrbruch und Multiplikation mit $\sin x$, also $\cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1$ auch schon fertig ist. Allerdings braucht man dafür die bereits an sich sehr interessante Ungleichung $x\leq \tan x$, wofür mir gerade kein elementarer Beweis einfällt. Kann jemand helfen? --Skraemer 13:32, 4. Sep. 2011 (CEST)

Das wird wohl nicht elementar gehen. Entweder Du machst es geometrisch-anschaulich (Sehne ist kürzer als Bogenlänge ist kürzer als Tangentenabschnitt), oder Du musst den Begriff der Bogenlänge analytisch defnieren, dann brauchst Du vorher die Integralrechnung (vgl. "Analytische Berechnung der Ableitung mit der Bogenlänge"). Mit Integralrechnung ist die Sache natürlich trivial, z.B.

$\arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt\leq \int _{0}^{x}{\frac {1}{1}}dt=x$ --NeoUrfahraner 09:41, 16. Sep. 2011 (CEST)