Diskussion:Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton

Einige Hinweise:

• $\otimes$ ist das Tensorprodukt [[1]]
• $A\otimes V$ ist also das Tensorprodukt der Algebra $A$ und des Vektorraumes $V$. Das kann man sich einfach als Menge der Paare $(a,v)$ mit $a\in A$ und $v\in V$ vorstellen, auf die alle Operationen komponentenweise angewandt werden.
• $A=\left\{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}f^{k}\mid n\in \mathbb {N} ,\,\alpha _{k}\in K{\mbox{ mit }}k=1,\ldots ,n\right\}$

Lückenhafter Beweistext

Sorry, aber ich finde den Beweis schlecht aufgeschrieben.

1) Die Umformulierung der Behauptung als Aussage über die Determinante von $f\otimes 1-1\otimes f$ wird nicht begründet. (Für mich liegt das überhaupt nicht nahe.)

2) Die komplementäre Matrix $B^{\#}$ wird plötzlich ausführlich erklärt („Adjunkte“ ist eigentlich die verständlichere Benennung, aber das wird ja schon in [2] beredet.), aber welchen Endomorphismus auf/zwischen welchen Vektorräumen soll sie hier überhaupt darstellen? Soll $B$ wenigstens quadratisch sein? (Sonst tue ich mich mit der Bedeutung von $\det B$ schwer.) Von welcher Natur sind die Matrixeinträge? (aus $K$ wohl nicht?)

3) Was ist $D$ ? Determinante? Wovon? Was soll dieses $\cdot$ bedeuten?

4) Warum ist „das Bild aber im Kern der Abbildung (...) enthalten“ ? Aus welchem Satz folgt das?

5) Was mit $D$ gemeint sein könnte, wird noch undeutlicher, wenn man $D(v)$ liest. Determinante eines Vektors?!

Ich habe die englische Wikipedia [3] herangezogen, um überhaupt die Beweisidee zu erkennen. Auffällig, dass die dort gegebenen Beweise immer etwas länglich sind, ohne dabei (der leichteren Erst-Lesbarkeit etwa) redundant zu werden.

Wenn man schon relativ abstrakt schreibt, dann sollte man sich penibel ausdrücken. Mir fehlt die Sicherheit im Detail, den Beweistext zu bearbeiten.

Selten so einen schlechten Beweistext gelesen. :-/ --Stefan Neumeier 13:50, 19. Nov. 2008 (CET)

Elementarer Beweis

Ich habe mal eine elementare Version eingefügt - in der Form sollte es mit Methoden der Anfängervolesung Lineare Algebra machbar sein.

Etwas übergangen habe ich die etwas lästige Determinantenberechnung, die länglich wird und von der Beweisidee ablenken würde - auch könnte man noch etwas genauer argumentieren, warum aus g(x) teilt h(x) (als Polynom) dann g(f)(v)=0 => h(f)(v)=0 gilt (lineare Abb. kommutieren ja i.A. nicht). Es gibt also (neben sicher etlichen Index/Rechtschreibfehlern) noch etliches zu verbessern und Links einzufügen.

Gruß, Detlef

Vielen Dank für Deine Mühe! :-) --Stefan Neumeier 00:59, 1. Feb. 2009 (CET)