Diskussion:Das Mehrkörperproblem in der Astronomie/ Praktische Beispiele/ Planetensystem

Fouriertransformation etc

Fourier-Analyse auf Planetenbewegungen etc anzuwenden, sieht sehr interessant aus. Schön, daß das im Buch steht.

Kleinere Anmerkungen, vielleicht um ein paar Kleinigkeiten umzuformulieren oder zu ergänzen, je nachdem, ob oder wie es in Buch paßt:

Die Fouriertransformation ist ja eigentlich eher ein Integral. Numerisch läuft das dann zwar wieder auf eine Summenbildung hinaus, ob aber Integral oder Summe (Fourier-Reihe) kann Einfluß auf Formelwahl und Genauigkeit haben. Oft ist es zudem praktischer, mit der komplexen e-Funktion zu arbeiten statt mit sinus und cosinus.

Prinzipiell kann man natürlich nicht nur zeitabhängige Funktionen in einer Fourierreihe entwickeln oder einer Fourriertransformation unterziehen. Für die Mathematik macht es ja keinen Unterschied, ob bei f(t) das t nun für eine Zeit steht oder nicht ;o) Bei Wellen etwa hat man ja sowohl räumliche als auch zeitliche periodische Strukturen. Bei Wellenfunktionen (Quantenphysik) spielt die Fouriertransformation auch eine wichtige Rolle (Zusammenhang etwa auch mit der Unschärferelation).

'Sind für die Zeitfunktion insgesamt N Werte bekannt, welche nacheinander von 0 bis N − 1 durchnummeriert werden, so gilt: ...'
Da wird man wohl die Äquidistanz der Werte auf der Zeitskala fordern müssen, sonst wird es mit der Formel glaube ich kniffliger, ist das korrekt?
Zudem würde ich nicht gerade über i summieren, in dem Zusammenhang ist das etwas verwirrend, eben weil die meisten Leute bei Fourier mit der komplexen e-Funktion denken (egal, wie man die Numerik dann formuliert), wo dann i eine spezifische Bedeutung hat.

Auch 'Dass eine Zeitfunktion aus einer solchen Überlagerung harmonischer Schwingungen besteht, kann man auch im Alltag erfahren,' ist insofern etwas stark vereinfacht oder gar irreführend, als man wohl besser formuliert, daß sich periodische oder nahezu periodische Funktionen gut durch eine Überlagerung harmonischer Schwingungen annähern lassen. Ob sie wirklich daraus bestehen oder nicht, kann dabei stark davon abhängen, wie sie entstanden sind, die mathematische Näherung funktioniert aber unabhängig davon. Viele zeitabhängige Phänomene sind natürlich rein gar nicht periodisch, dann bringt eine Entwicklung nichts, wird etwa ein Planet aus einem Doppelsternensystem geschleudert, wird man da auch mit Fourier-Analyse keine schönen/auffälligen Strukturen mehr finden.
Man kann solche Funktionen auch mit einer Potenzreihenentwicklung annähern oder mit (kubischen) Splines, was jetzt aber ebenfalls nicht bedeuten wird, daß die Entstehung der Phänomene selbst etwas mit den Möglichkeiten der mathematischen Darstellung derselben zu tun hat.

Bei der genannten Musik hingegen schwingt ja bei klassischen Instrumenten oft eine Seite oder Membran, da entstehen die Schwingungen mehr oder weniger wirklich so. Wird der Kram über Elektronik erzeugt, sind da doch oft komplexere Bauteile am Werk, die nicht zwangsläufig nur harmonische Schwingungen produzieren. Selbst wenn man an den Saiten herumfingert oder eine Saite reißt, ist die Ursache des Geräusches nicht zwangsläufig etwas harmonisch Schwingendes. Selbst für einen Knall beim Riß einer Seite läßt sich allerdings per Fourier ein Spektrum bestimmen, sieht dann natürlich komplett anders aus als für die normal funktionierende Saite, da ist dann eine echte Transformation auch besser als eine Reihe. Die Bewegungen von Objekten im Gravitationsfeld haben ja auch keine harmonischen Schwingungen als Ursache, viele davon sind ja nicht einmal annähernd periodisch, wenn die Objekte genug kinetische Energie haben. Das eignet sich also nur teilweise für Fourieranalysen. Auch bei elliptischen Bahnen ist ja etwa die radiale Variation nur näherungsweise durch ein harmonisches Potential zu nähern, je weniger kreisförmig, desto schlechter offenbar.

Hinsichtlich des Abtasttheorem könnte man etwas weniger allgemein formulieren. Es wird nicht so recht klar, ob oder in welcher Weise das Konsequenzen für die Simulation von Planetensystemen hat oder wann das da wirklich ins Spiel kommt. Bezogen auf das Buch könnte man da verschiedene Szenarien vor Augen haben:

• Jemand vermißt Objekte, tut dieser das nicht oft genug, schlägt das Abtasttheorem zu.
• Jemand versucht ein System zu rechnen, wenn das Abtasttheorem da problematisch werden sollte, sind ja jedenfalls die Rechenschritte viel zu groß gewählt.
• Man versucht eine Rechnung nachträglich zu analysieren - wenn das Abtasttheorem da problematisch werden sollte, hat man garantiert auch eine Situation, wo die Bahnen aufgrund zu großer Rechenschritte nicht mehr charakteristisch für das betrachtete Problem sind.
• Die gewählten diskreten Rechenschritte oder Änderungen derselben bei der Simulation können periodische Strukturen vortäuschen/generieren, also bei der Analyse Artefakte produzieren.

Bei einfachen Systemen, die halbwegs stabile Ellipsenbahnen aufweisen, hat man dadurch natürlich zusätzliche Informationen, man weiß also deutlich mehr über das betrachtete System als die diskrete Anzahl von Meßpunkten hergibt, etwa daß die Trjakektorie glatt verläuft und keine Knicke aufweist, umso glatter, je 'flacher' der Raum ist. Solche Zusatzinformationen kann man natürlich nutzen, um zu wissen, daß das Abtasttheorem auch bei wenigen Meßpunkten keine Rolle spielt und zwischen diesen keine wilden Oszillationen auftreten können.
Doktorchen 15:11, 13. Jun. 2015 (CEST)

Auch hier möchte ich mich für die zahlreichen Anmerkungen bedanken! Für Fourier-Integral und Verwendung der komplexen e-Funktion werde ich noch einen Kasten für Fortgeschrittene einfügen. Dass nicht nur zeitliche, sondern auch räumliche periodische Strukturen erfasst werden können, habe ich nun in einer zusätzlichen Anmerkung erwähnt. Den Index i in den Summen habe ich durch n ersetzt, ebenso nun auf die notwendige Äquidistanz der Meßwerte hingewiesen. Auch ist nun erwähnt, dass die Darstellbarkeit einer Funktion als Summe von harmonischen Schwingungen nicht unbedingt bedeutet, dass sie physikalisch tatsächlich aus solchen besteht. Wenn man sich nicht an das Abtasttheorem hält, liefern die Ausdrücke für die Amplituden und Phasen Artefakte, weil mit weniger als 3 Meßwerten pro Periode eine Schwingung nicht mehr eindeutig identifiziert werden kann. Auch habe ich noch einen Fehler in den Summen gefunden, der Nenner in den trigonometrischen Funktionen ist N und nicht N - 1--Michael Oestreicher 21:07, 17. Jun. 2015 (CEST)