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Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbare Abbildungen

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Letzter Kommentar: vor 1 Jahr von Zornsches Lemma in Abschnitt Aufgabe 2, Lösung zu d)

Aufgabe 2, Lösung zu d)

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Hallo an alle,

die Lösung zu 2 d) ist aus meiner Sicht falsch. Die Argumentation wäre aus meiner Sicht nur dann richtig, wenn die rechte Sigma-Algebra nur den Bildbereich enthalten würde. Dann und nur dann wären alle Urbilder in der linken Sigma-Algebra enthalten und messbar in Bezug auf die dann bestehenden Sigma-Algebren. Tatsächlich beinhaltet aber u.a. alle ungeraden Zahlen.

ist nicht -messbar. Gleiches gilt für .


(In Aufgabe 2 a) wird mit analog die Nicht-Messbarkeit argumentiert.) Marsmac1 11:15, 26. Jun. 2023 (CEST)Beantworten

Hallo Marsmac1,
Danke für deine Frage!
Tatsächlich ist die Lösung der Aufgabe 2d richtig. Es ist gar nicht wichtig, ob die Elemente der rechten Sigma-Algebra Teilmengen des Bildes sein.
Z.B. ist
Warum gilt das?
Wir müssen uns beide Teilmengenbeziehungen überlegen. Also, dass sowohl als auch gilt. Überlegen wir uns zuerst . Für eine ungerade Zahl , gibt es ein mit . Dann gilt . Also ist eine ungerade Zahl. Folglich ist und damit .
Jetzt müssen wir uns überlegen. Sein , d.h. . Somit ist eine ungerade Zahl. Wir wollen zeigen, dass auch eine ungerade Zahl ist. Wir machen einen Widerspruchsbeweis: Angenommen ist eine gerade Zahl. Dann ist für ein . Es folgt und damit wäre eine gerade Zahl. Das ist aber ein Widerspruch. Also ist .
Damit ist die Gleichheit der Mengen gezeigt. Ähnlich kann man das Urbild der geraden Zahlen unter betrachten und zeigen, dass das Urbild wieder alle geraden Zahlen sind.
Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen. Melde dich gerne wieder, wenn noch etwas unklar ist :) Zornsches Lemma 18:31, 5. Jul. 2023 (CEST)Beantworten