Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Reihe

Definition Reihe

Eine endliche Reihe ist Addition der ersten m Glieder einer Folge. Das klingt merkwürdig. Ist es nicht eher so: Das mte Glied einer endliche Reihe wird jeweils durch Addition der ersten m Glieder einer Folge berechnet. Mit Sicherheit ist nicht die komplette Reihe die Addition der ersten m Glieder. Dann hätte man keine spezielle Folge, die als Reihe bezeichnet wird, sondern nur das mte Glied der Reihe. --17:17, 19. Jul. 2014 (CEST) Und es gilt: Der Wert einer Reihe (=Grenzwert) ergibt sich aus der Addition aller Glieder einer unendlichen Folge. --15:39, 23. Jul. 2014 (CEST)

Ich bin gerade dabei, das Analysis 1-Buch zu überarbeiten und zu ergänzen. Infolge dessen wird dieser Artikel komplett überarbeitet. Deine Kritik ist berechtigt: In der aktuellen Version empfinde ich die Definition auch nicht exakt genug und verbesserungswürdig. Ich würde dich bitten, noch 2-3 Monate zu warten. Danach sollte der Artikel überarbeitet sein. (Grund: Ich würde gerne chronologisch vorgehen und aktuell bin ich bei den "Grundbegriffen der Analysis"). Viele Grüße, Stephan Kulla 01:40, 24. Jul. 2014 (CEST)

"Eine Reihe ist die Folge der Partialsummen"-dann wäre für die Folge 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 die Reihe: 1, 1+(1+2), 1+(1+2)+(1+2+3), 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4), 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5), = 1-1, 2-4, 3-10, 4-20, 5-35. Oder bin ich da zum dumm zum Denken ?

@IP: Du meinst die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }k$, oder? Die Folge der Partialsummen ist hier $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}k$ also

• $S_{1}=1$
• $S_{2}=1+2$
• $S_{3}=1+2+3$
• $S_{4}=1+2+3+4$
• usw.

Viele Grüße, Stephan Kulla 23:47, 11. Feb. 2015 (CET)

Das Wort 'Reihe' ist im Mathematik die Nahme für......?

Hej/Hallo. Hier versucht ein Holländer auf Deutsch zu schreiben.
Ich (*1942) bin schon sehr lange interessiert in die Frage um das Unterschied (falls existierend) zwischen 'Folge' und 'Reihe'. Heute entdeckte ich diese Wiki-Seite, wo ich meine Frage sehr ausführlich behandelt sehe. Aber am Ende lese ich doch wieder im Definition (Reihe):
'Reihe' ist die Nahme der Schreibweise (in Symbolform)   $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$   für (in Textform) "die Partialsummenfolge der Folge $a$ ".
Folglich lese ich im Definition (Grenzwert einer Reihe):
Die Grenzwert einer Schreibweise $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, ist der Limes ......
Meine ewige Frage bleibt: Wie kann eine Schreibweise (englisch: a symbolic expression) einen Grenzwert haben? (oder: konvergent sein, oder eine Summe haben, oder konvergieren, oder ...). Das ist doch Unsinn?

Für meine Versuche die Sache auf zu klären, sehe Ganz klar ? oder An attempt to clarify the 'series' mystery
-- Hesselp 12:05, 19. Apr. 2017 (CEST)

Die Definition von 'Reihe' im heutigen Text lautet:

Für eine reelle Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ die Folge aller Partialsummen $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$.

Hier wird (meiner Meinung) nichts anderes gesagt als:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$  ist eine (kürzere) Schreibweise für die Partialsummenfolge einer reelle Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$;
eine solcher Symbolform wird Reiheform oder Reihe genannt.
-- Hesselp 20:54, 19. Apr. 2017 (CEST)

Lieber Hesselp, vielen Dank für deine Nachricht und deine Frage. Ich hoffe, es ist in Ordnung, wenn ich auf Deutsch antworte. Wenn es dir lieber ist, können wir auch gerne auf Englisch wechseln.

Mir ist am Ende deine Frage nicht ganz klar. Die Schreibweise $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ steht beispielsweise auch für einen Grenzwert. Genauso verhält es sich mit der Schreibweise $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Willst du darauf hinaus, dass mit dem Ausdruck $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ sowohl eine Folge als auch eine Zahl gemeint sein kann? Viele Grüße, Stephan Kulla 17:22, 20. Apr. 2017 (CEST)

Beste Stephan Kulla,   Nein, es geht mir nicht um die zwei Bedeutungen (Zahl und Folge) der Schreibweise (des Ausdrucks) $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. (Einmal oder zweimal habe ich gesehen: $\sum _{k=1}a_{k}$ für die Folge (Reihe?) versus $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ für das Limitzahl.   Quelle: Seite 22 in: DIN-Taschenbuch 202; Formelzeichen / Formelsatz / Mathematische Zeichen und Begriffe. 2.Auflage April 1994, Beuth Verlag.
Ähnlich könnte man auch schreiben:  a1+a2+a3+··· versus  a1+a2+a3+··· ∞ ).
Es geht mir um das Gespenst mit die Nahme 'Reihe'. Die Definitions-Satz im heutigen Text sagt (in eine implicite Formulierung) nicht anderes als:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$  ist eine (kürzere) Schreibweise für die Partialsummenfolge einer reelle Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$;

ein solcher Ausdruck - die Sigma-Schreibweise für Folgen - wird Reiheform oder Reihe genannt.

Aber eine Schreibweise (ein Ausdruck) kan niemals konvergent sein, oder eine Summe haben usw.
Ich vermute Cauchy ist die Quelle der Verwirring. Eine Folge ist 'suite', und eine unendliche Zahlenfolge nennt er 'série'. Wenn die Partialsummen einer Zahlenfolge konvergieren, sagt er nicht 'série sommable' aber .... 'série convergente'.
Das ist fragen um Probleme, und die Probleme dauern schon zwei Jahrhunderten. Kommt noch bei, das es vorher üblich war von 'Reihe' zu reden, auch wenn wir heute 'Folge' sagen sollen.
Das Gespenst soll getötet werden.   Vriendelijk groet. -- Hesselp 21:20, 20. Apr. 2017 (CEST)

@Hesselp: Ich verstehe das Problem noch nicht. Du meinst, man sollte anstelle von einer Reihe von einer Folge sprechen? -- Stephan Kulla 16:20, 21. Apr. 2017 (CEST)

Stephan Kulla   Reaktion zu "sollte anstelle von einer Reihe, von einer Folge sprechen?
Tja, eigentlich: ja!. Oder....obwohl...historisch gesehen sind die Wörte 'Reihe' und 'Folge' sehr oft wie Synonyme gebraucht (Und auch heute noch: sehe z.B. [1] "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen."
Und sehe Esperanto:   Rimarko: Ne ekzistas formala diferenco inter la nocioj vico kaj serio. )
Darum kann man auch vorschlagen beide Wörte durcheinander zu benutzen.
Nochmals:
Die 'Folge der Partialsummen einer Folge' ist wieder eine Folge.
Der Limit einer 'Folge der Partialsummen einer Folge' ist ein Zahl.
E s   g i b t   k e i n   m a t h e m a t i s c h e   B e g r i f f   d a z w i s c h e n / d a n e b e n .
Sehr viele Autoren schreiben und sprechen als ob es ein solcher Zwischenbegriff (ich sagte: 'Gespenst') gibt.   Aber wenn man genau analysiert wie das 'Zwischenbegriff' (vielmals 'Reihe' genannt) definiert wird, dann kommt man nicht weiter als: "die Sigma-Schreibweise für Folgen". (Und dazu meistens auch: die "plusses/bullets notation" a1+a2+a3+··· . (Plusse/Punkte-Schreibweise ?))

Reaktion zu: "Ich verstehe das Problem noch nicht."
Das Wort 'Reihe' wird definiert als die Nahme einer symbolisch geschrieben mathematische Ausdruck (die Sigma-Schreibweise). Aber überall im Text wird gesprochen von 'konvergierende Reihe', 'konvergente Reihe', 'Summe der Reihe', 'Partialsummen der Reihe', usw.   Wobei nirgends gesagt wird das der Wikibook-Leser die Schreibweise-Definition vergessen muss ('Reihe' wird niemals in dieser Bedeutung gebraucht), und
das traditionelle   Summe der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$   muss interpretieren wie   Summe der Folge $(a_{k})$ ,
und   konvergente Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$   muss interpretieren wie   summierbare Folge $(a_{k})$ .
Es kann dabei darauf hingewesen werden das Cauchy sehr unvorsichtig 'convergente' wählte als Adjectiv für eine Zahlenfolge mit konvergierende Partialsummen (eine summierbare Zahlenfolge). -- Hesselp 23:18, 21. Apr. 2017 (CEST) --Hesselp 20:27, 22. Apr. 2017 (CEST)

@Hesselp: Ich sehe das Problem noch immer nicht. In unseren Artikel wird definiert: „Die Reihe ist die Folge der Partialsummen $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ einer Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$.“ Damit ist klar, dass eine Reihe eine Folge ist und dass Reihen konvergent sein können. Der Ausdruck „konvergente Reihe“ lässt sich dann übersetzen zu „konvergente Folge der Partialsummen“, was sinnvoll ist. (Lassen wir mal weg, dass die Schreibweise $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ sowohl für die Reihe als auch für den Grenzwert der Reihe verwendet wird). Für uns ist eine Reihe keine Schreibweise. Sie ist die Folge der Partialsummen.

PS: Den Begriff „summierbare Folge“ finde ich super. Jedoch fast es den Reihenbegriff nicht ganz. Ich würde bei einer konvergenten Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ als summierbare Folge ansehen.

Viele Grüße, Stephan Kulla 12:08, 23. Apr. 2017 (CEST)

Stephan Kulla   Es bleibt sehr interessant (für mich......).
1. Die Folge der Partialsummen der Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, ···,   ist die Folge 1, 3/2, 7/4, 15/16, ···.   Korrekt?
2. Die Folge 1, 3/2, 7/4, 15/16, ···   hat keine Summe (ist nicht summierbar).   Korrekt?
3. Wenn ich die Folge 1, 3/2, 7/4, 15/16, ···   'Reihe' nenne (betrachte wie eine Reihe), ist seiner Summe 2.   Korrekt?
4. Nun mein Problem. Ist morgen die Summe noch immer gleich 2, oder sollte ich die Folge morgen erst nochmals 'Reihe' nennen? Und: ich weiss nicht ob Du die Folge heute einmal 'Reihe' genannt hat, so ich weiss nicht was für dich die Summe ist. Heute, und morgen, und gestern, ...? --

Noch einmal:
A. Die Folge  1, (1 + 1/2), (1 + 1/2 + 1/4), (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8) + ···  ist eine Partialsummenfolge (der Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, ··· ), also eine Reihe. Und ist also konvergent, mitte Summe 2.
B. Die Folge 1, 3/2, 7/4, 15/16, ··· sieht nicht aus wie eine Partialsummenfolge, und ist darum divergent. --Hesselp 20:01, 23. Apr. 2017 (CEST)

Ich machte einen grossen Fehler!   Hoffentlich besser hier:
C. Die Folge   1  ,     1,1  ,         1,11  ,                 1,111  ,     · · ·       ist konvergent, hat aber keine Summe.
D. Die Folge   1  ,   1+0,1  ,   1+0,1+0,01  ,   1+0,1+0,01+0,001  ,   · · ·   sieht aus wie eine Partialsummenfolge, ist also eine Reihe, und deswegen konvergent mit Summe 10/9.   --Hesselp 21:21, 23. Apr. 2017 (CEST)

@Hesselp: (1) ist korrekt. Bei (2) und (3) gibt es den Begriff "Summe einer Folge" bzw. "Summe eines Grenzwerts" nicht. Generell macht es keinen Sinn, den Begriff "Summe einer Reihe" zu verwenden. Wenn dann ist es "Grenzwert einer Folge" bzw "Grenzwert einer Reihe". Beide Begriffe sind in (2) und (3) synonym. Wenn dann würde ich den Begriff "Summe einer Folge" verstehen – dies wäre aber eine umgangssprachliche Umschreibung für "Reihe einer Folge" und nicht exakt. Die Lösung scheint mir also zu sein, konsequent den Begriff "Summe" durch "Grenzwert" auszutauschen. Dann passt es wunderbar zusammen. Viele Grüße -- Stephan Kulla 21:53, 25. Apr. 2017 (CEST)

Hallo Stephan Kulla.   Es hat einige Tage gedauert; wenn du gehts zu [2] und [3], und sehe bei <view history>, verstehts du vielleicht warum.
Kurz bei deiner Zeilen 25 April:
1. Die Text im Artikel suggeriert (meiner Meinung nach) das
(C*)   Die Folge   1  ,     1,1  ,         1,11  ,                 1,111  ,                · · ·   ist konvergent und hat keine Summe,   und
(D*)   Die Folge   1  ,   1+0,1  ,   1+0,1+0,01  ,   1+0,1+0,01+0,001  ,   · · ·   ist konvergent und hat Summe 10/9. (Weil es eine Reihe betrifft.)   beide korrekte Aussagen sein. Das ist für mich nicht zu verstehen.

2. "Beide Begriffe sind in (2) und (3) synonym."
Zwei ungleiche  N a h m e n  können demselben Begriff andeuten (synonym sein, "nym" = Nahme).   Bei zwei Begriffe kann man nicht sprechen von 'synonym'.

3. "den Begriff .... "Summe eines Grenzwerts"
Du meinst: "die Nahme 'Summe eines Grenzwerts' "?   Denn ich kenne keinen Begriff mit dieser Nahme.

Ich will mich (mir?) nun konzentrieren auf die englische Wikipedia; vielleicht sehe ich dort auch Beiträge von dir? Gern. Mit Grüsse. --Hesselp 11:02, 29. Apr. 2017 (CEST)