Einführung in die Quantenfeldtheorie/ Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie

Die Physik der Quantenfeldtheorie findet in natürlicher weise bei hohen Energien statt und brauchen daher eine Formulierung durch die spezielle Relativitätstheorie. Des Weiteren führen wir nun die übliche Notation der Quantenfeldtheorie ein. Die spezielle Relativitätheorie ist auf zwei physikalische Prinzipien aufgebaut:

• Die Gesetze der Physik sind in jedem Inertialraum gleich.
• Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialraum konstant.

Der mathematische Rahmen dieser Theorie bietet der Minkowski-Raum dessen Elemente als Ereignisse bezeichnet werden. Vektoren in diesem Raum werden als vierer-Vektoren bezeichnet und geschrieben als:

$x^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Der Index $\mu$ geht von 0-3. Also z.B. $x^{0}=ct$,$x^{1}=x$,$x^{2}=y$,$x^{3}=z$. Nun gibt es wie in der euklidischen Geometrie auch in der Minkowski Geometrie das Konzept einer invarianten Norm und eines skalar Produkts das mit Hilfe der Minkowski-Metrik definiert wird.

Test

$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Die Metrik hat auch eine inverse, die wir schreiben als:

$\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Das Symbol $\eta _{\mu \nu }$ ist die Metrik im Minkowski Raum. Im allgemeinen wird eine Metrik als

$g_{\mu \nu }$

bezeichnet für die gilt:

$g_{\mu \nu }g^{\nu \rho }=\delta _{\mu }^{\rho }$

Wobei $\delta _{\mu }^{\rho }$ das Kronecker Delta ist für das gilt 1 wenn $\rho =\mu$ und 0 andererseits. Somit kann auch geschrieben werden das:

$gg^{-1}=I$ wobei $I$ die Identitätsmatrix ist.

Mit Hilfe der Minkowski-Metrik können Indizes herauf oder heruntergezogen werden.

$x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\nu }$

$x^{\mu }=g^{\mu \nu }x_{\nu }$

Somit können wir zwischen kovarianten und kontravarianten Komponenten unterscheiden: Kontravariant:

$x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$

Kovariant:

$x_{\mu }=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(ct,-x,-y,-z)$

Sieht man sich die einzelnen Komponenten der Ko- und Kontravarianten Vektoren an, sieht man das sich ihre Komponenten bis auf $x^{0}$ und $x_{0}$ um ein Vorzeichen unterscheiden. In der Mathematik spricht man auch von zueinander dualen Vektoren.