Einführung in die Tensorrechnung: Transformation der Vektorkomponenten bei Basiswechsel

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Einführung eines neuen Basissystems

Bislang haben wir alle auftretenden Vektoren auf dasselbe kartesische Koordinatensystem mit den Basis(einheits)vektoren e₁, e₂, e₃ bezogen. Nun führen wir zusätzlich ein neues kartesisches Koordinatensystem mit den Basis(einheits)vektoren e' ₁, e' ₂, e' ₃ ein, das gegenüber dem alten System um den (gemeinsamen) Ursprung gedreht ist und eventuell anschließend parallel verschoben worden sein kann. (Eine solche Parallelverschiebung macht sich in den Transformationsgleichungen nicht bemerkbar.)

Die Basisvektoren des neuen Systems stellen wir nun – genau wie wir es bisher mit anderen Vektoren getan haben – im alten System dar. Die Komponenten der neuen Basisvektoren bezüglich des alten Systems erhalten wir – wie üblich –, indem wir die neuen Einheitsvektoren auf die alten projizieren. So erhalten wir durch Bildung der Skalarprodukte die skalaren Komponenten des neuen Basisvektors e' ₁:

(3.1)

${\begin{matrix}e'_{11}={\boldsymbol {e}}'_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}=1\cdot 1\cdot \cos \alpha _{1}=a_{1}\,,\\e'_{12}={\boldsymbol {e}}'_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}=1\cdot 1\cdot \cos \alpha _{2}=a_{2}\,,\\e'_{13}={\boldsymbol {e}}'_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}=1\cdot 1\cdot \cos \alpha _{3}=a_{3}\,.\end{matrix}}$

Dabei sind cos α_i (i = 1, 2, 3) die »Richtungskosinus« des Vektors e' ₁ bezüglich der Basisvektoren des alten Systems, die wir mit a_i abkürzen.

Genau so findet man

$e'_{2i}=b_{i}\quad {\mbox{und}}\quad e'_{3i}=c_{i}\,.$

Damit können die neuen Basisvektoren so dargestellt werden:

(3.2)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {e}}'_{1}=a_{1}\,{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{2}\,{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{3}\,{\boldsymbol {e}}_{3}\,,\\{\boldsymbol {e}}'_{2}=b_{1}\,{\boldsymbol {e}}_{1}+b_{2}\,{\boldsymbol {e}}_{2}+b_{3}\,{\boldsymbol {e}}_{3}\,,\\{\boldsymbol {e}}'_{3}=c_{1}\,{\boldsymbol {e}}_{1}+c_{2}\,{\boldsymbol {e}}_{2}+c_{3\,}{\boldsymbol {e}}_{3}\,.\end{matrix}}$

Dafür können wir schreiben:

${\begin{matrix}{\boldsymbol {e}}'_{1}={\begin{pmatrix}{a_{1}}&{a_{2}}&{a_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}\end{pmatrix}}=\left({a_{i}}\right)^{T}\left({\boldsymbol {e}}_{i}\right),\\{\boldsymbol {e}}'_{2}={\begin{pmatrix}{b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}\end{pmatrix}}=\left({b_{i}}\right)^{T}\left({\boldsymbol {e}}_{i}\right),\\{\boldsymbol {e}}'_{3}={\begin{pmatrix}{c_{1}}&{c_{2}}&{c_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}\end{pmatrix}}=\left({c_{i}}\right)^{T}\left({\boldsymbol {e}}_{i}\right).\end{matrix}}$

Diese drei Gleichungen können zu einer einzigen zusammengefasst werden:

(3.3)

${\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}'_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}'_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}'_{3}}\end{pmatrix}}=\left({{\boldsymbol {e}}_{i}}'\right)={\begin{pmatrix}{a_{1}}&{a_{2}}&{a_{3}}\\{b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\\{c_{1}}&{c_{2}}&{c_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}}&{a_{2}}&{a_{3}}\\{b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\\{c_{1}}&{c_{2}}&{c_{3}}\end{pmatrix}}\left({\boldsymbol {e}}_{i}\right)\,.$

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Übung 3.1: Bestätigen Sie diese Gleichung durch Ausmultiplizieren der Matrizen und weisen Sie nach, dass Gleichung (3.3) mit dem Gleichungssystem (3.2) äquivalent ist.

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Bezeichnen wir die Matrix der Koeffizienten a₁ ... c₃ mit K, so können wir die Gleichung (3.3) so schreiben:

(3.4)

$\left({\boldsymbol {e}}'_{i}\right)={\boldsymbol {K}}\left({\boldsymbol {e}}_{i}\right).$

Umkehrung:

Es sollen nun die alten Basisvektoren durch die neuen ausgedrückt werden. Die Komponenten der alten Basisvektoren bezüglich der neuen Achsen erhalten wir analog zu oben, indem wir die alten Basisvektoren auf die neuen projizieren und dabei beachten, dass

$\cos \left({{\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}'_{1}}\right)=\cos \left({{\boldsymbol {e}}'_{1},{\boldsymbol {e}}_{1}}\right)={a_{1}}\,,\quad \cos \left({{\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}'_{2}}\right)=\cos \left({{\boldsymbol {e}}'_{2},{\boldsymbol {e}}_{1}}\right)=b_{1}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

So erhalten wir

(3.5)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {e}}_{1}=a_{1}\,{\boldsymbol {e}}'_{1}+b_{1}\,{\boldsymbol {e}}'_{2}+c_{1}\,{\boldsymbol {e}}'_{3}\,,\\{\boldsymbol {e}}_{2}=a_{2}\,{\boldsymbol {e}}'_{1}+b_{2}\,{\boldsymbol {e}}'_{2}+c_{2}\,{\boldsymbol {e}}'_{3}\,,\\{\boldsymbol {e}}_{3}=a_{3}\,{\boldsymbol {e}}'_{1}+b_{3}\,{\boldsymbol {e}}'_{2}+c_{3}\,{\boldsymbol {e}}'_{3}\,.\end{matrix}}$

Die Matrix der Koeffizienten ist offensichtlich gleich der transponierten Matrix der Koeffizienten aus Gleichung (3.3), sodass wir analog zur Gleichung (3.4) schreiben können:

(3.6)

$\left({{\boldsymbol {e}}_{i}}\right)={\boldsymbol {K}}^{T}\left({{\boldsymbol {e}}'_{i}}\right).$

 

Transformation der Vektorkomponenten bei Basiswechsel

Es soll nun die Komponenten eines Vektors v in einer neuen Basis berechnet werden.

Die Komponentendarstellung des Vektors v bezüglich der Basis {e₁, e₂, e₃} sei

(3.7)

${\boldsymbol {v}}=v_{1}\,{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}\,{\boldsymbol {e}}_{2}+v_{3}\,{\boldsymbol {e}}_{3}\,,$

seine Darstellung bezüglich der Basis {e' ₁, e' ₂, e' ₃} sei

(3.8)

${\boldsymbol {v}}=v'_{1}{\boldsymbol {e}}'_{1}+v'_{2}{\boldsymbol {e}}'_{2}+v'_{3}{\boldsymbol {e}}'_{3}\,.$

Die Komponenten des Vektors ändern sich beim Wechsel der Basis, der Vektor selbst ändert sich nicht. Es wäre daher irreführend, den Vektor im neuen System etwa mit v' zu bezeichnen.

Der Zusammenhang zwischen den Komponenten im neuen und im alten System ergibt sich, indem wir mittels der Gleichungen (3.5) die alten Basisvektoren durch die neuen ausdrücken:

${\begin{matrix}{\boldsymbol {v}}=v_{1}\left({a_{1}\,{\boldsymbol {e}}'_{1}+b_{1}\,{\boldsymbol {e}}'_{2}+c_{1}\,{\boldsymbol {e}}'_{3}}\right)+v_{2}\left({a_{2}\,{\boldsymbol {e}}'_{1}+b_{2}\,{\boldsymbol {e}}'_{2}+c_{2}\,{\boldsymbol {e}}'_{3}}\right)\ \\+v_{3}\left({a_{3}\,{\boldsymbol {e}}'_{1}+b_{3}\,{\boldsymbol {e}}'_{2}+c_{3}\,{\boldsymbol {e}}'_{3}}\right)\,.\end{matrix}}$

Durch Ausmultiplizieren und Umordnen nach den Basisvektoren ergibt sich daraus

(3.9)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {v}}=\left({a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}}\right){\boldsymbol {e}}'_{1}+\left({b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+b_{3}v_{3}}\right){\boldsymbol {e}}'_{2}\ \\+\left({c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}}\right){\boldsymbol {e}}'_{3}\,,\end{matrix}}$

und durch Koeffizientenvergleich

(3.10)

${\begin{matrix}v'_{1}=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}\,,\\v'_{2}=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+b_{3}v_{3}\,,\\v'_{3}=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\,.\end{matrix}}$

Die Komponenten des Vektors bezüglich der neuen Basis sind also lineare homogene Funktionen seiner Komponenten bezüglich der alten Basis. (Linear und homogen bedeutet, dass die Gleichungen nur erste Potenzen der alten Komponenten enthalten.)

Dafür kann man auch schreiben

(3.11)

${\begin{pmatrix}{v'_{1}}\\{v'_{2}}\\{v'_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}}&{a_{2}}&{a_{3}}\\{b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\\{c_{1}}&{c_{2}}&{c_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}},$

oder

$\left({v'_{i}}\right)={\boldsymbol {K}}\left(v_{i}\right).$

Entsprechend findet man für die inverse Transformation die Gleichungen

(3.12)

${\begin{matrix}v_{1}=a_{1}\,v'_{1}+b_{1}\,v'_{2}+c_{1}\,v'_{3}\,,\\v_{2}=a_{2}\,v'_{1}+b_{2}\,v'_{2}+c_{2}\,v'_{3}\,,\\v_{3}=a_{3}\,v'_{1}+b_{3}\,v'_{2}+c_{3}\,v'_{3}\end{matrix}}$

oder

(3.13)

${\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}}&{b_{1}}&{c_{1}}\\{a_{2}}&{b_{2}}&{c_{2}}\\{a_{3}}&{b_{3}}&{c_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{v'_{1}}\\{v'_{2}}\\{v'_{3}}\end{pmatrix}},$

und

$\left({v_{i}}\right)={\boldsymbol {K}}^{T}\left({v'_{i}}\right).$

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