Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die Potenzfolgen

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Die Potenzfolgen

Einleitung

Unter einer Potenzfolge versteht man die aufsteigende Folge von Potenzen einer Basis. Die bekannteste Potenzfolge ist die Folge der Zweierpotenzen: $1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...\$.

In einigem gleichen die Potenzfolgen der Fibonacci-Folge bzw. der Lucas-Folge:

Die Differenzfolge der Fibonacci-Folge sieht so aus:

$0\$

$1\$

$1\$

$2\$

$3\$

$5\$

$8\$

$13\$

$21\$

$34\$

$55\$

$...\$

$1\$

$0\$

$1\$

$1\$

$2\$

$3\$

$5\$

$8\$

$13\$

$21\$

$...\$

Wie man sieht, enthält die Differenzfolge der Fibonacci-Folge wieder die Fibonacci-Folge selbst.

Die Differenzfolge der Lucas-Folge:

$2\$

$1\$

$3\$

$4\$

$7\$

$11\$

$18\$

$29\$

$47\$

$76\$

$123\$

$...\$

$-1\$

$2\$

$1\$

$3\$

$4\$

$7\$

$11\$

$18\$

$29\$

$47\$

$...\$

Auch hier ist die Lucas-Folge wiederum in der Differenz-Folge der Lucas-Folge enthalten. Das ist auch nicht verwunderlich, da die rekursive Bildungsregel beider Folgen besagt, das ein Glied die Summe seiner beiden Vorgänger ist ($a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\$). Demzufolge gilt für jedes Glied der Differenzfolge $a_{n-2}=a_{n}-a_{n-1}\$. Das ergebnis ist eine verschobene Folge.

Wie sieht es nun bei den Potenzfolgen aus? Als Beispiele dienen die Folge der 2er-Potenzen und die Folge der 3er-Potenzen:

Die Differenzfolge der 2er-Potenzfolge:

$1\$

$2\$

$4\$

$8\$

$16\$

$32\$

$64\$

$128\$

$256\$

$512\$

$1024\$

$...\$

$1\$

$2\$

$4\$

$8\$

$16\$

$32\$

$64\$

$128\$

$256\$

$512\$

$...\$

Die Differenzfolge der 2er-Potenzfolge ist wiederum eine verschobene Folge der 2er-Potenzen.

$1\$

$3\$

$9\$

$27\$

$81\$

$243\$

$729\$

$2187\$

$6561\$

$\$

$\$

$...\$

$2\$

$6\$

$18\$

$54\$

$\$

$\$

$\$

$\$

$\$

$\$

$...\$

Die Differenzfolge der 3er-Potenzen ist keine verschobene Folge der 3er-Potenzen. Aber wenn man die Glieder der Differenzfolge halbiert, so bekommt man auch hier die Folge der 3er-Potenzen.