Zurück zu Bestimmte Integrale
Zum einen ist ∫ 0 ∞ e − n x sin ( n x ) cot x d x = ∫ 0 ∞ e − n x sin n x sin x cos x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,\sin(nx)\,\cot x\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,{\frac {\sin nx}{\sin x}}\,\cos x\,dx} = lim N → ∞ ∫ 0 ∞ e − n x sin n x sin x ( cos x − cos ( 2 N + 1 ) x ) d x (Riemannsches Lemma) {\displaystyle =\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,{\frac {\sin nx}{\sin x}}\,{\Big (}\cos x-\cos(2N+1)x{\Big )}dx\quad {\text{(Riemannsches Lemma)}}} = 2 ⋅ lim N → ∞ ∫ 0 ∞ e − n x sin n x sin x sin ( N + 1 ) x ⋅ sin N x ⋅ d x = 2 ⋅ lim N → ∞ ∫ 0 ∞ e − n x sin n x ∑ k = 1 N sin ( 2 k x ) d x {\displaystyle =2\cdot \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,{\frac {\sin nx}{\sin x}}\,\sin(N+1)x\cdot \sin Nx\cdot dx=2\cdot \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,\sin nx\,\sum _{k=1}^{N}\sin(2kx)\,dx} = 2 ⋅ lim N → ∞ ∑ k = 1 N ∫ 0 ∞ e − n x sin n x ⋅ sin ( 2 k x ) d x = ∑ k = 1 ∞ ∫ 0 ∞ e − n x ( cos ( n − 2 k ) x − cos ( n + 2 k ) x ) d x {\displaystyle =2\cdot \lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,\sin nx\cdot \sin(2kx)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-nx}{\Big (}\cos(n-2k)x-\cos(n+2k)x{\Big )}dx} = ∑ k = 1 ∞ n n 2 + ( n − 2 k ) 2 − ∑ k = 1 ∞ n n 2 + ( n + 2 k ) 2 {\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+(n-2k)^{2}}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+(n+2k)^{2}}}} . Zum anderen ist ∫ 0 ∞ e − n x sin ( n x ) coth x d x = 1 2 n + 2 ∑ k = 1 ∞ n n 2 + ( n + 2 k ) 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,\sin(nx)\,\coth x\,dx={\frac {1}{2n}}+2\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+(n+2k)^{2}}}} ∫ 0 ∞ e − n x sin ( n x ) coth x d x = ∫ 0 ∞ e − n x sin n x ⋅ ( 1 + 2 e 2 x − 1 ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,\sin(nx)\,\coth x\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,\sin nx\cdot \left(1+{\frac {2}{e^{2x}-1}}\right)dx} = n n 2 + n 2 + 2 ∫ 0 ∞ e − n x sin n x e 2 x − 1 d x = 1 2 n + 2 ∑ k = 1 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( n + 2 k ) x sin n x d x = 1 2 n + 2 ∑ k = 1 ∞ n n 2 + ( n + 2 k ) 2 {\displaystyle ={\frac {n}{n^{2}+n^{2}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-nx}\,\sin nx}{e^{2x}-1}}\,dx={\frac {1}{2n}}+2\,\sum _{k=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(n+2k)x}\,\sin nx\,dx={\frac {1}{2n}}+2\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+(n+2k)^{2}}}} Faßt man beide Teile zusammen, so ist ∫ 0 ∞ e − n x sin ( n x ) ( cot x + coth x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,\sin(nx)\,\left(\cot x+\coth x\right)\,dx} = 1 2 n + ∑ k = 1 ∞ n n 2 + ( n − 2 k ) 2 + ∑ k = 1 ∞ n n 2 + ( n + 2 k ) 2 = π 2 sinh π n cosh π n − cos π n = π 2 { tanh n π 2 , n ungerade coth n π 2 , n gerade {\displaystyle ={\frac {1}{2n}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+(n-2k)^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+(n+2k)^{2}}}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {\sinh \pi n}{\cosh \pi n-\cos \pi n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{{\begin{matrix}\tanh {\frac {n\pi }{2}}&,&n\,\,\,{\text{ungerade}}\\\\\coth {\frac {n\pi }{2}}&,&n\,\,\,{\text{gerade}}\end{matrix}}\right.} .
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