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Multipliziere die Formel log Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ ( x − 1 t e t − 1 − e − t ( x − 1 ) t ( e t − 1 ) ) d t {\displaystyle \log \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x-1}{t\,e^{t}}}-{\frac {1-e^{-t(x-1)}}{t\,(e^{t}-1)}}\right)dt} mit sin ( 2 n π x ) {\displaystyle \sin(2n\pi x)\,} durch und integriere nach x {\displaystyle x\,} von 0 bis 1 : I n := ∫ 0 1 log Γ ( x ) sin ( 2 n π x ) d x {\displaystyle I_{n}:=\int _{0}^{1}\log \Gamma (x)\,\sin(2n\pi x)\,dx} = ∫ 0 1 ∫ 0 ∞ ( x − 1 t e t sin ( 2 n π x ) − 1 − e − t ( x − 1 ) t ( e t − 1 ) sin ( 2 n π x ) ) d t d x {\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x-1}{t\,e^{t}}}\,\sin(2n\pi x)-{\frac {1-e^{-t(x-1)}}{t\,(e^{t}-1)}}\,\sin(2n\pi x)\right)dt\,dx} Vertausche anschließend die Integrationsreihenfolge. Wegen ∫ 0 1 sin ( 2 n π x ) d x = 0 , ∫ 0 1 x sin ( 2 n π x ) d x = − 1 2 n π {\displaystyle \int _{0}^{1}\sin(2n\pi x)\,dx=0\,\,,\,\,\int _{0}^{1}x\,\sin(2n\pi x)\,dx=-{\frac {1}{2n\pi }}} und ∫ 0 1 e − t ( x − 1 ) sin ( 2 n π x ) d x = 2 n π ( 2 n π ) 2 + t 2 ( e t − 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-t(x-1)}\,\sin(2n\pi x)\,dx={\frac {2n\pi }{(2n\pi )^{2}+t^{2}}}\,(e^{t}-1)} ist daher I n = ∫ 0 ∞ ( − 1 2 n π 1 t e t + 1 t 2 n π ( 2 n π ) 2 + t 2 ) d t {\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2n\pi }}\,{\frac {1}{t\,e^{t}}}+{\frac {1}{t}}\,{\frac {2n\pi }{(2n\pi )^{2}+t^{2}}}\right)dt} . 2 n π I n = ∫ 0 ∞ ( ( 2 n π ) 2 ( 2 n π ) 2 + t 2 − 1 e t ) d t t = ∫ 0 ∞ ( 1 1 + t 2 − 1 e 2 n π t ) d t t {\displaystyle 2n\pi \,I_{n}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {(2n\pi )^{2}}{(2n\pi )^{2}+t^{2}}}-{\frac {1}{e^{t}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+t^{2}}}-{\frac {1}{e^{2n\pi t}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}} Und das ist γ + log ( 2 n π ) {\displaystyle \gamma +\log(2n\pi )\,} wegen ∫ 0 ∞ ( t z − 1 1 + t 2 − t z − 1 e 2 n π t ) d t = π 2 1 sin π z 2 − Γ ( z ) ( 2 n π ) z {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {t^{z-1}}{1+t^{2}}}-{\frac {t^{z-1}}{e^{2n\pi t}}}\right)\,dt={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {1}{\sin {\frac {\pi z}{2}}}}-{\frac {\Gamma (z)}{(2n\pi )^{z}}}} = ( π 2 1 sin π z 2 − 1 z ) + 1 ( 2 n π ) z ( 1 z ( 2 n π ) z ⏟ 1 z + log ( 2 n π ) + O ( z ) − Γ ( z ) ) → γ + log ( 2 n π ) {\displaystyle =\left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {1}{\sin {\frac {\pi z}{2}}}}-{\frac {1}{z}}\right)+{\frac {1}{(2n\pi )^{z}}}\,\left(\underbrace {{\frac {1}{z}}\,(2n\pi )^{z}} _{{\frac {1}{z}}+\log(2n\pi )+O(z)}-\Gamma (z)\right)\to \gamma +\log(2n\pi )} für z → 0 + {\displaystyle z\to 0^{+}\,} .
durch und integriere nach 
von 0 bis 1 :
.
wegen 
für 
.
