Zurück zu Bestimmte Integrale
Im Fall α = 0 {\displaystyle \alpha =0\,} ist cosh 2 x + cos 2 α = 2 cosh 2 x {\displaystyle \cosh 2x+\cos 2\alpha =2\cosh ^{2}x\,} . Das gesuchte Integral ∫ − ∞ ∞ x sinh x cosh 2 x d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\,\sinh x}{\cosh ^{2}x}}\,dx} ist dann nach partieller Integration ∫ − ∞ ∞ 1 cosh x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\cosh x}}=\pi } . Im Fall α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0\,} hat die Funktion f ( z ) = 2 z sinh z cosh 2 z + cos 2 α {\displaystyle f(z)={\frac {2z\sinh z}{\cosh 2z+\cos 2\alpha }}} ihre Singularitäten bei z = i ( k π 2 ± α ) {\displaystyle z=i\left(k{\frac {\pi }{2}}\pm \alpha \right)} , wobei k {\displaystyle k\,} eine ungerade Zahl ist. Für R > Im ( α ) {\displaystyle R>{\text{Im}}(\alpha )\,} umschließt die Kurve γ R {\displaystyle \gamma _{R}\,} die beiden Singularitäten z 1 / 2 = i ( π 2 ± α ) {\displaystyle z_{1/2}=i\left({\frac {\pi }{2}}\pm \alpha \right)} . Also ist I = ∮ γ R f d z = 2 π i ( res [ f , i ( π 2 + α ) ] + res [ f , i ( π 2 − α ) ] ) = π α + π 2 sin α + π α − π 2 sin α = 2 π α sin α {\displaystyle I=\oint _{\gamma _{R}}f\,dz=2\pi i\left({\text{res}}\left[f,i\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)\right]+{\text{res}}\left[f,i\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\right]\right)=\pi {\frac {\alpha +{\frac {\pi }{2}}}{\sin \alpha }}+\pi {\frac {\alpha -{\frac {\pi }{2}}}{\sin \alpha }}=2\pi \,{\frac {\alpha }{\sin \alpha }}} . Für R → ∞ {\displaystyle R\to \infty \,} gehen die Integrale über den vertikalen Strecken, nämlich ∫ − R − R + i π f d z {\displaystyle \int _{-R}^{-R+i\pi }f\,dz} und ∫ R R + i π f d z {\displaystyle \int _{R}^{R+i\pi }f\,dz} , gegen Null. Also ist I = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x + ∫ − ∞ ∞ f ( i π − x ) ( − d x ) {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }f(i\pi -x)\,(-dx)} , wobei − f ( i π − x ) = f ( x ) + 2 π i sinh x cosh 2 x + cos 2 α ⏟ ungerade Funktion {\displaystyle -f(i\pi -x)=f(x)+2\pi i\underbrace {\frac {\sinh x}{\cosh 2x+\cos 2\alpha }} _{\text{ungerade Funktion}}} ist. Daraus folgt I = ∫ − ∞ ∞ 2 f ( x ) d x = 2 π α sin α {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }2f(x)\,dx=2\pi {\frac {\alpha }{\sin \alpha }}} .
Setzt man f ( z ) = sinh π z sinh a z cosh 2 π z + cos 2 π b {\displaystyle f(z)={\frac {\sinh \pi z\,\sinh az}{\cosh 2\pi z+\cos 2\pi b}}} , so ist f ( z + i ) = − sinh π z ( sinh a z cos a + i cosh a z sin a ) cosh 2 π z + cos 2 π b {\displaystyle f(z+i)=-{\frac {\sinh \pi z\,(\sinh az\,\cos a+i\cosh az\,\sin a)}{\cosh 2\pi z+\cos 2\pi b}}} . Da der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist, gilt ∫ − ∞ ∞ f ( x + i ) d x = − cos a ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x+i)\,dx=-\cos a\,\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx} . Für R → ∞ {\displaystyle R\to \infty \,} verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist lim R → ∞ ∮ f d z = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x − ∫ − ∞ ∞ f ( x + i ) d x = ( 1 + cos a ) ∫ − ∞ ∞ f d x = 2 cos 2 ( a 2 ) ∫ − ∞ ∞ f d x {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\oint f\,dz=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }f(x+i)\,dx=(1+\cos a)\int _{-\infty }^{\infty }f\,dx=2\,\cos ^{2}\left({\frac {a}{2}}\right)\,\int _{-\infty }^{\infty }f\,dx} . Auf der anderen Seite ist nach dem Residuensatz lim R → ∞ ∮ f d z = 2 π i res ( f , i ( 1 2 + b ) ) + 2 π i res ( f , i ( 1 2 − b ) ) {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\oint f\,dz=2\pi i\,{\text{res}}\left(f,i\left({\frac {1}{2}}+b\right)\right)+2\pi i\,{\text{res}}\left(f,i\left({\frac {1}{2}}-b\right)\right)} = sin ( a ( 1 2 + b ) ) 2 sin π b − sin ( a ( 1 2 − b ) ) 2 sin π b = cos ( a 2 ) sin a b sin π b {\displaystyle ={\frac {\sin \left(a\left({\frac {1}{2}}+b\right)\right)}{2\sin \pi b}}-{\frac {\sin \left(a\left({\frac {1}{2}}-b\right)\right)}{2\sin \pi b}}={\frac {\cos \left({\frac {a}{2}}\right)\,\sin ab}{\sin \pi b}}} . Daraus folgt ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = sin a b 2 cos ( a 2 ) sin π b {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx={\frac {\sin ab}{2\,\cos \left({\frac {a}{2}}\right)\,\sin \pi b}}} .
, so ist 
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verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist
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![{\displaystyle I=\oint _{\gamma _{R}}f\,dz=2\pi i\left({\text{res}}\left[f,i\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)\right]+{\text{res}}\left[f,i\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\right]\right)=\pi {\frac {\alpha +{\frac {\pi }{2}}}{\sin \alpha }}+\pi {\frac {\alpha -{\frac {\pi }{2}}}{\sin \alpha }}=2\pi \,{\frac {\alpha }{\sin \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42038610fca78392c9df529930c8d15d1d8bb45c)
