Formelsammlung Mathematik: Determinanten

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Multiplikationssatz (laut Formensammlung)

$\det(AB)=\det(A)\,\det(B)$

Beweis (Multiplikationssatz)

$\det(AB)=\det {\Big (}A(b_{1},...,b_{n}){\Big )}=\det \left(A\sum _{j=1}^{n}b_{1j}\,e_{j},...,A\sum _{j=1}^{n}b_{nj}\,e_{j}\right)\,$

$=\det \left(\sum _{j=1}^{n}b_{1j}a_{j},...,\sum _{j=1}^{n}b_{nj}a_{j}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{n}b_{1j_{1}}\cdots b_{nj_{n}}\,\det(a_{j_{1}},...,a_{j_{n}})$

$=\sum _{(j_{1},...,j_{n})\in S_{n}}b_{1j_{1}}\cdots b_{nj_{n}}\,\det(a_{j_{1}},...,a_{j_{n}})=\underbrace {\sum _{(j_{1},...,j_{n})\in S_{n}}(-1)^{{\text{sgn}}(j_{1},...,j_{n})}\,b_{1j_{1}}\cdots b_{nj_{n}}} _{=\det(B)}\,\det(A)$

 

Determinante von Matrixexponential$\det(\mathrm {e} ^{A})=\mathrm {e} ^{{\text{tr}}(A)}\,$

Beweis

Hat $A\,$ die Eigenwerte $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\,$, so hat $\mathrm {e} ^{A}\,$ die Eigenwerte $\mathrm {e} ^{\lambda _{1}},...,\mathrm {e} ^{\lambda _{n}}$.

Also ist $\det(\mathrm {e} ^{A})=\mathrm {e} ^{\lambda _{1}}\cdots \mathrm {e} ^{\lambda _{n}}=\mathrm {e} ^{\lambda _{1}+...+\lambda _{n}}=\mathrm {e} ^{{\text{tr}}(A)}$.

 

det(A+xy^T)

$\det(A+xy^{T})=\det(A)+y^{T}\,{\text{adj}}(A)\,x$

ohne Beweis

 

Vandermondsche Determinante

$\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}=\prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})$

Beweis (Vandermondesche Determinante)

Es sei $V_{n}(x_{1},...,x_{n})=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}$.

Zieht man von rechts nach links von jeder Spalte das $x_{1}\,$-fache der Vorgängerspalte ab, so ist

$V_{n}(x_{1},...,x_{n})=\det {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\1&x_{2}-x_{1}&(x_{2}-x_{1})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{1})x_{2}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{1}&(x_{n}-x_{1})x_{n}&\cdots &(x_{n}-x_{1})x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}$.

Entwickelt man nach der ersten Zeile, dann besitzen die Elemente jeder Zeile einen gemeinsamen Faktor,

welcher sich aus der Restdeterminante rausziehen lässt.

Also ist $V_{n}(x_{1},...,x_{n})=(x_{2}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{1})\,V_{n-1}(x_{2},...,x_{n})$,

wobei nach Induktionsvoraussetzung $V_{n-1}(x_{2},...,x_{n})=\prod _{2\leq i<j}(x_{j}-x_{i})$ ist.

Und somit ist $V_{n}(x_{1},...,x_{n})=\prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})\,$.

 

Cauchy-Determinante

$\det {\begin{pmatrix}{\frac {1}{x_{1}+y_{1}}}&{\frac {1}{x_{1}+y_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{x_{1}+y_{n}}}\\\\{\frac {1}{x_{2}+y_{1}}}&{\frac {1}{x_{2}+y_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{x_{2}+y_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {1}{x_{n}+y_{1}}}&{\frac {1}{x_{n}+y_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\end{pmatrix}}={\frac {\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})\,\prod \limits _{i<j}(y_{i}-y_{j})}{\prod \limits _{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{j})}}$

Beweis (Cauchy-Determinante)

Es sei $A_{n}=(a_{ij})\,$ die $n\times n\,$ Matrix mit $a_{ij}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}}$.

Zieht man von der $i\,$-ten Zeile $(i=1,...,n-1)\,$ das ${\frac {x_{n}+y_{n}}{x_{i}+y_{n}}}$-fache der $n\,$-ten Zeile ab, so erhält man

$A_{n}'=\left({\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}&B_{n-1}&\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\\\hline {\begin{matrix}{\frac {1}{x_{n}+y_{1}}}&{\frac {1}{x_{n}+y_{2}}}&\cdots \end{matrix}}&{\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\end{array}}\right)$ mit einer $(n-1)\times (n-1)\,$ Matrix $B_{n-1}=(b_{ij})\,$.

Hierbei ist $b_{ij}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}}-{\frac {x_{n}+y_{n}}{x_{i}+y_{n}}}\cdot {\frac {1}{x_{n}+y_{j}}}$

$={\frac {(x_{i}+y_{n})(x_{n}+y_{j})-(x_{n}+y_{n})(x_{i}+y_{j})}{(x_{i}+y_{j})(x_{i}+y_{n})(x_{n}+y_{j})}}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}}\cdot {\frac {x_{i}-x_{n}}{x_{i}+y_{n}}}\cdot {\frac {y_{j}-y_{n}}{x_{n}+y_{j}}}$.

Bei $B_{n-1}\,$ besitzen also die Elemente jeder Zeile den gemeinsamen Faktor ${\frac {x_{i}-x_{n}}{x_{i}+y_{n}}}$,

und die Elemente jeder Spalte besitzen den gemeinsamen Faktor ${\frac {y_{j}-y_{n}}{x_{n}+y_{j}}}$.

Zieht man diese gemeinsamen Faktoren aus $\det B_{n-1}\,$ heraus,

so ist $\det B_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}{\frac {x_{i}-x_{n}}{x_{i}+y_{n}}}\cdot \prod _{j=1}^{n-1}{\frac {y_{j}-y_{n}}{x_{n}+y_{j}}}\,\det A_{n-1}$,

wobei nach Induktionsvoraussetzung $\det A_{n-1}={\frac {\prod \limits _{i<j<n}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod \limits _{i<j<n}(y_{i}-y_{j})}{\prod \limits _{i,j=1}^{n-1}(x_{i}+y_{j})}}$ ist.

Also ist $\det A_{n}=\det A_{n}'=\det B_{n-1}\cdot {\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}$

${\frac {\prod \limits _{i<j=n}(x_{i}-x_{j})\,\prod \limits _{i<j=n}(y_{i}-y_{j})}{\prod \limits _{i=1}^{n-1}(x_{i}+y_{n})\cdot \prod \limits _{j=1}^{n-1}(x_{n}+y_{j})\cdot (x_{n}+y_{n})}}\cdot \det A_{n-1}={\frac {\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})\,\prod \limits _{i<j}(y_{i}-y_{j})}{\prod \limits _{i,j=1}^{n}(x_{i}+y_{j})}}$.