Zum Inhalt springen

Formelsammlung Mathematik: Funktionen

Aus Wikibooks
Formelsammlung Mathematik

Definition

[Bearbeiten]

Definition. Funktion.

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge D genau ein Element y der Zielmenge Z zuordnet.

Formale Definition. Eine Funktion ist ein Tupel , wobei gilt:

1. ist eine Relation
2. ist linkstotal
3. ist rechtseindeutig
Graph
Definitionsbereich
Zielmenge
für

Bildmenge

[Bearbeiten]

Definition. Bild.

Für und ist

das Bild von unter . Hierbei ist

Es gilt:

Urbild

[Bearbeiten]

Definition. Urbild.

Für ist

das Urbild von unter .

Es gilt:

Injektionen

[Bearbeiten]
Kommutiert dieses Diagramm, so ist . Somit muss injektiv sein.

Definition. Injektion.

Eine Funktion heißt injektiv, wenn gilt:

oder via Kontraposition:


Definition. Linksinverse.

Sei eine Funktion. Eine Funktion mit

heißt Linksinverse von .

  • Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksinverse besitzt. (→Beweis)
  • Eine Injektion kann mehrere unterschiedliche Linksinverse haben.

Surjektionen

[Bearbeiten]
Kommutiert dieses Diagramm, so ist . Somit muss surjektiv sein.

Definition. Surjektion.

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge mit ihrer Zielmenge übereinstimmt, d. h. wenn gilt:

Da aber allgemeingültig ist, genügt es, zu zeigen.


Definition. Rechtsinverse.

Sei eine Funktion. Eine Funktion mit

heißt Rechtsinverse von .

  • Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt. Die Teilaussage »Eine Surjektion besitzt mindestens eine Rechtsinverse.« erfordert aber das Auswahlaxiom.
  • Eine Surjektion kann mehrere unterschiedliche Rechtsinverse besitzen.

Bijektionen

[Bearbeiten]
Kommutiert dieses Diagramm, so ist und . Somit muss bijektiv und sein.

Definition. Bijektion.

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


Satz und Definition. Umkehrfunktion.

Genau dann ist eine Bijektion, wenn eine Funktion mit der Eigenschaft

und

existiert.

Die Funktion ist eindeutig bestimmt und wird als Umkehrfunktion (inverse Funktion) von bezeichnet.

Komposition

[Bearbeiten]

Definition. Komposition.

Für und ist

die Komposition (Verkettung), sprich nach .

Es gilt das Assoziativgesetz:

Es gilt:

  1. Sind injektiv, so ist injektiv.
  2. Sind surjektiv, so ist surjektiv.
  3. Sind bijektiv, so ist bijektiv.
  4. Ist injektiv, so ist injektiv.
  5. Ist surjektiv, so ist surjektiv.
  6. Ist bijektiv, so ist injektiv und surjektiv.

Iteration

[Bearbeiten]

Definition. Iteration.

Für eine Selbstabbildung bezeichnet man mit die n-te Iterierte von .

Man definiert:


Ausnahmen in der Notation gibt es bei den Winkelfunktionen:

anstelle von ,
anstelle von ,
usw.

Inklusion

[Bearbeiten]

Definition. Inklusion.

Für zwei Mengen mit wird

als Inklusionsabbildung, kurz Inklusion bezeichnet.

Einschränkung

[Bearbeiten]

Definition. Einschränkung.

Für und nennt man

die Einschränkung von auf .

Ist die Inklusion, so gilt: