Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Gaußsches Digamma Theorem

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$\psi \left({\frac {p}{q}}\right)=-\gamma -\log(2q)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {p\pi }{q}}\right)+\sum _{k=1}^{q-1}\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\,\log \left(\sin {\frac {k\pi }{q}}\right)\qquad 0<p<q$

Beweis

In der Formel $\psi (x)+\gamma =\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+x}}\right)$ setze $x={\frac {p}{q}}$.

Dann ist $\psi \left({\frac {p}{q}}\right)+\gamma =\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {q}{kq+p}}\right)$

und das ist $\lim _{z\to 1^{-}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {q}{kq+p}}\right)z^{kq+p}$ nach dem Abelschen Grenzwertsatz.

Für $0<|z|<1\,$ ist $\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {q}{kq+p}}\right)z^{kq+p}=z^{p-q}\underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{(k+1)q}}{k+1}}} _{-\log(1-z^{q})}-q\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{kq+p}}{kq+p}}$.

Mit Hilfe der Simpsonschen Extraktionsmethode lässt sich dies schreiben als

$-z^{p-q}\log(1-z^{q})-\sum _{k=0}^{q-1}{\frac {-\log(1-\xi ^{k}z)}{\xi ^{kp}}}$, wobei $\xi =e^{\frac {2\pi i}{q}}$ ist.

Schreibe dies nun als $-z^{p-q}\log \left({\frac {1-z^{q}}{1-z}}\right)-z^{p-q}\log(1-z)+\log(1-z)+\sum _{k=1}^{q-1}\xi ^{-kp}\log(1-\xi ^{k}z)$.

Für $z\to 1^{-}\,$ erhält man damit $\psi \left({\frac {p}{q}}\right)=-\gamma -\log q+\sum _{k=1}^{q-1}\xi ^{-kp}\,\log(1-\xi ^{k})$.

Nun ist $\psi \left({\frac {p}{q}}\right)+\psi \left({\frac {q-p}{q}}\right)=-2\gamma -2\log q+2\sum _{k=1}^{q-1}\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\,\log(1-\xi ^{k})$,

wobei man $\log \left(1-e^{{\frac {2\pi i}{q}}k}\right)$ durch dessen Realteil $\log \left(2\sin {\frac {k\pi }{q}}\right)$ ersetzen kann weil alle anderen Terme reell sind.

Zusammen mit der Formel $\psi \left({\frac {p}{q}}\right)-\psi \left({\frac {q-p}{q}}\right)=-\pi \cot \left({\frac {p\pi }{q}}\right)$ erhält man

$2\psi \left({\frac {p}{q}}\right)=-2\gamma -2\log q-\pi \cot \left({\frac {p\pi }{q}}\right)+2\sum _{k=1}^{q-1}\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\,\log \left(2\sin {\frac {k\pi }{q}}\right)$.

Teilt man beide Seiten durch $2\,$ und schreibt $\sum _{k=1}^{q-1}\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\log 2$ als $-\log 2\,$, so ist

$\psi \left({\frac {p}{q}}\right)=-\gamma -\log(2q)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {p\pi }{q}}\right)+\sum _{k=1}^{q-1}\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\,\log \left(\sin {\frac {k\pi }{q}}\right)$.