Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Jacobi-Anger Entwicklung

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Jacobi-Anger Entwicklung

$e^{iz\sin \varphi }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\,e^{in\varphi }\qquad z,\varphi \in \mathbb {C}$

$e^{iz\cos \varphi }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\varphi }\qquad z,\varphi \in \mathbb {C}$

Beweis

In der erzeugenden Funktion $e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\,t^{n}$ setze $t=e^{i\varphi }$, bzw. $t=i\,e^{i\varphi }$.

 

Jacobi-Reihen

$\cos(z\sin \varphi )=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos 2n\varphi \qquad z,\varphi \in \mathbb {C}$

$\sin(z\sin \varphi )=2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin(2n+1)\varphi \qquad z,\varphi \in \mathbb {C}$

$\cos(z\cos \varphi )=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\,J_{2n}(z)\cos 2n\varphi \qquad z,\varphi \in \mathbb {C}$

$\sin(z\cos \varphi )=2\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,J_{2n+1}(z)\cos(2n+1)\varphi \qquad z,\varphi \in \mathbb {C}$

Beweis

$\cos(z\sin \varphi )={\frac {1}{2}}\left(e^{iz\sin \varphi }+e^{-iz\sin \varphi }\right)$ ist nach Jacobi-Anger Entwicklung

${\frac {1}{2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\left(e^{in\varphi }+e^{-in\varphi }\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\cos n\varphi$.

Wegen $J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z)\,$ ist das $J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos 2n\varphi$.

Analog ist $\sin(z\sin \varphi )={\frac {1}{2i}}\left(e^{iz\sin \varphi }-e^{-iz\sin \varphi }\right)$

$={\frac {1}{2i}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\left(e^{in\varphi }-e^{-in\varphi }\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\sin n\varphi$.

Auch wegen $J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z)\,$ ist das dann $2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin(2n+1)\varphi$.

Um die anderen beiden Formel zu beweise ersetze man $\varphi \,$ durch ${\frac {\pi }{2}}-\varphi$.