Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Reihen zur Betafunktion

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$\sum _{k=0}^{\infty }B(x+k,y+1)=B(x,y)$

Beweis

$\sum _{k=0}^{\infty }B(x+k,y+1)=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}z^{x+k-1}\,(1-z)^{y}\,dz=\int _{0}^{1}z^{x-1}\,(1-z)^{y-1}=B(x,y)$

 

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{x-1 \choose k}\,{\frac {1}{k+y}}=B(x,y)\qquad {\text{Re}}(x)>0\,,\,y\notin \mathbb {Z} ^{\leq 0}$

Beweis

Zunächst seien $x,y\,$ komplexe Zahlen mit positivem Realteil.

Multipliziere die binomische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{x-1 \choose k}\,z^{k}=(1-z)^{x-1}\,$ mit $z^{y-1}\,$ durch und integriere nach $z\,$ von $0$ bis $1$.

Wegen der analytischen Fortsetzbarkeit stimmt die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{x-1 \choose k}\,{\frac {1}{k+y}}$,

die für alle $x,y\,$ mit ${\text{Re}}(x)>0\,$ und $y\notin \mathbb {Z} ^{\leq 0}$ konvergiert, mit $B(x,y)\,$ überein.