Himmelsgesetze der Bewegung/ Warum der Mond nicht auf die Erde fällt: Kreisbewegung

Das erste newtonsche Gesetz „revised“: Kraft und Änderung der Richtung der Bewegung

Das erste newtonsche Gesetz haben wir bisher durch folgende Aussage angegeben:

„Ist die Gesamtkraft null, so ist die Geschwindigkeit konstant und umgekehrt.“

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, sie hat also sowohl einen Betrag als auch eine Richtung. Konstante Geschwindigkeit soll daher in diesem Gesetz sowohl konstanten Betrag als auch konstante Richtung bedeuten. Wenn man also die Richtung der Bewegung eines Körpers ändern will, muss man unvermeidlich eine Kraft ausüben! Bei einer Kreisbewegung muss man ständig eine Kraft ausüben! Das kann man wohl im Alltag spüren (und wie!). Wenn die Straße glitschig oder eisig ist, kann ein Auto nicht mehr abbiegen, weil es keine Reibungskraft gibt, die das Auto in einer Kreisbewegung halten kann. Wenn der Bus plötzlich abbiegt und wir uns nicht irgendwo halten, dann landen wir am Rand des Busses. Und wenn wir ein Objekt in Drehbewegung halten wollen, müssen wir wohl eine Kraft ausüben.

Das erste newtonsche Gesetz: die Kraft und die Beschleunigung in einer Kreisbewegung

Die Kraft zu berechnen, die einen Körper in Kreisbewegung hält ist nicht so einfach. Für einen konstanten Betrag v der Bahngeschwindigkeit (und daher auch der Winkelgeschwindigkeit) kann man zeigen, dass:

$F_{Z}=m\cdot {\frac {v^{2}}{r}}$

also ist die Beschleunigung:

$a_{Z}={\frac {v^{2}}{r}}$

Die Kraft ist auch ein Vektor, also sie hat auch eine Richtung. Die Kraft, die einen Körper in Kreisbewegung hält, nennt man Zentripetalkraft (also quasi: „Kraft, die etwas im Zentrum hält“) und hat eine Richtung zum Mittelpunkt des Kreises, genauso wie die entsprechende Beschleunigung. Man kann mit Hilfe von Vektoren nur bedingt erklären, wie die Formel für die Zentripetal-Beschleunigung und ihre Richtung entsteht. Eine vollständige Erklärung ist zwar leicht aber nur dann, wenn man die Theorie über Ableitungen in Mathematik beherrscht.

Warum der Mond nicht auf die Erde fällt

Hoffentlich hat der Leser die Antwort zu dieser Frage schon erraten. Die Anziehungskraft zwischen Erde und Mond, also die Gravitationskraft, die „normalerweise“ die beiden Himmelskörper immer näher bringen sollte (bis zur Kollision), ist doch die Kraft, die den Mond in einer Kreisbewegung hält. Also wirkt die Gravitationskraft nicht als Anziehungskraft, sondern, nennen wir es so, als „Kreiskraft“, als Zentripetalkraft.

Man kann das tatsächlich berechnen. Die konstante Bahngeschwindigkeit des Mondes v_M kann man mit Hilfe der Formel für die Geschwindigkeit (v = Δs/Δt) berechnen. Die Periode (Zeit für eine Wiederholung) der Kreisbewegung des Mondes T_M ist ca. 27,3 Tage. Den Abstand R_EM zwischen Erde und Mond hat Aristarchos schon ca. 250 v.C. berechnet. Der Mond legt also innerhalb eine Periode (Δt = T_M ≈ 27,3 Tage = 2358720s) den Umfang des Kreises (Δs = 2πR_EM ) seiner Bahn zurück. Daher ist die Bahngeschwindigkeit:

v_M =2πR_EM /T_M

und die Beschleunigung der Kreisbewegung

$a={\frac {v^{2}}{r}}$

mit r= R_EM ≈ 384000km und v=v_M ,

also

$a={\frac {v_{M}^{2}}{R_{EM}}}={\frac {(2\cdot \pi \cdot R_{EM}/T_{M})^{2}}{R_{EM}}}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot R_{EM}}{T_{M}^{2}}}\approx 2,724\cdot 10^{-3}m/s^{2}$

Die Fallbeschleunigung, wenn der Mond sich nicht im Kreis bewegen würde, kann man mit Hilfe des Gravitationsgesetzes berechnen:

$g=G\cdot {\frac {M_{\oplus }}{R_{EM}^{2}}}\approx 2,714\cdot 10^{-3}m/s^{2}$

wo wir selbstverständlich R_EM statt R_⊕ benutzt haben, da wir die Fallbeschleunigung da, wo der Mond ist, berechnen wollen und nicht auf der Erdoberfläche!

Zu bemerken ist in dieser Formel noch einmal, dass die Bewegung nicht von der Masse des Mondes aber nur von der Masse der Erde M_⊕ abhängig ist!

Die Werte (wenn man kleinere Abweichungen wegen des Ab-und Aufrundens vernachlässigt) sind gleich, also tatsächlich dient die Gravitationskraft als Zentripetalkraft! Daher fällt der Mond nicht auf die Erde, sondern bleibt er auf einer Kreisbahn!

Satelliten, Navigationssysteme

Satelliten

Genauso wie der Mond um die Erde Kreis, hat der Mensch Satelliten auf einer Kreisbahn um die Erde gestellt (den Mond nennt man allerdings auch einen Satellit). Es reicht zu wissen, wie hoch der Satellit sein muss, um seine Bahngeschwindigkeit zu berechnen. Dafür muss man einfach die Beschleunigung für die Kreisbewegung gleich der Fallbeschleunigung in dieser Höhe setzen:

$a={\frac {v^{2}}{r}}$

und

$g=G\cdot {\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}$

In diesen Formeln ist r die Höhe PLUS den Radius der Erde (also der Abstand zwischen Schwerpunkten).

r=R

Setzen wir also a=g

${\frac {v^{2}}{r}}=G\cdot {\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}$

und daher

$v={\sqrt {\frac {G\cdot {M_{\oplus }}}{r}}}$

Dadurch kann man die notwendige Bahngeschwindigkeit eines Satelliten bei einer gewissen Höhe H=r-R⊕ berechnen.

Geostationäre Satelliten

Gewisse Satelliten nennt man geostationäre. Das bedeutet, dass sie sich immer über den gleichen Ort der Erde befinden. Das passiert, weil ihre Periode genau so viel wie die Periode der Erde-Eigendrehung ist, also genau ein Tag. Da die Bahngeschwindigkeit nur von der Höhe abhängig ist, bedeutet das letztendlich, dass die geostationären Satelliten sich nur in einer bestimmten Höhe befinden können. Um diese Höhe zu berechnen, arbeitet man wie im Absatz 5.2.3. Wie dort schon gezeigt, gilt für die Bahngeschwindigkeit:

$v={\frac {2\cdot \pi \cdot r}{T}}$

Setzen wir diese Geschwindigkeit gleich der im letzten Absatz gerade eben berechneten Geschwindigkeit:

$v={\sqrt {\frac {G\cdot {M_{\oplus }}}{r}}}={\frac {2\cdot \pi \cdot r}{T}}$

bekommen wir

$r={\sqrt[{3}]{\frac {G\cdot {M_{\oplus }}\cdot T^{2}}{4\cdot \pi ^{2}}}}$

Für T = 24h = 86400s ist die Höhe (nicht vergessen: r ist Abstand zwischen Schwerpunkten!) H=r-R_⊕ $\approx$ 36000 km

Navigationssysteme: GPS, Galileo, ГЛОНАСС (Glonass), 北斗(Beidou)

Ein globales Navigationssatellitensystem (Abk. GNSS) ist ein System zur Positionsbestimmung und Navigation auf der Erde und in der Luft durch den Empfang der Signale von Navigationssatelliten und Pseudoliten (satellitenähnliche Geräte, die sich jedoch auf dem Erdboden befinden). Von den im Titel erwähnten Systemen ist heute nur GPS voll funktionsfähig. Die Satelliten für diese Systeme sind nicht geostationär. Man braucht schon einige Satelliten, damit das System richtig funktioniert. Um die Position überhaupt berechnen zu können, braucht man Signale aus zumindest 4 Satelliten. Die Daten werden dann durch ein vier Gleichungen-System mit vier Unbekannten bearbeitet. Es gibt viele Fehler-Quellen und sogar die allgemeinere Relativitätstheorie muss einbezogen werden, damit die Berechnungen stimmen.