Mit den Metriken gewinnen wir einen Quotienten der ersten Fundamentalform , mit dem wir etwas anfangen können. Statt der Bezeichnung E,F,G verwenden wir die Bezeichnung für Tensorelemente. unser Ergebnis bezeichnen wir als Quadrat von $\lambda$ .

$\lambda ^{2}={\frac {ds^{2}}{dS^{2}}}={\frac {C_{11}dU^{2}+2C_{12}dUdV+C_{22}dV^{2}}{G_{11}dU^{2}+2G_{12}dUdV+G_{22}dV^{2}}}$

Abbildungseigenschaften entlang der Parameterlinien

Wir können jetzt in jedem Punkt die Streckenverzerrung längs der Parameterlinien bestimmen. Dies funktioniert, da bei V=const dv=0 ist. Damit kürzt sich das übrige dU weg und wir erhalten einen numerischen Wert. Dies gilt analog auch für U.

Verzerrungen

Gemäß der Definition der Parameterlinien ist bei der U-Parameterlinie V konstant. Wir erhalten das Verzerrungsmaß in Richtung der U-Parameterlinien.

$\lambda _{U}^{2}={\frac {C_{22}dV^{2}}{G_{22}dV^{2}}}={\frac {C_{22}}{G_{22}}}$

V-Parameterlinie

$\lambda _{V}^{2}={\frac {C_{11}}{G_{11}}}$

Beispiel für Verzerrungen

Im Beispiel sind die Verzerrungen

\lambda _{U}^{2}={\frac {R^{2}}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V_{0}}{2}}\right)R^{2}}}={\frac {1}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V_{0}}{2}}\right)}}

,

V_{0}=\mathrm {const.}

\lambda _{V}^{2}={\frac {4R^{2}\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)^{2}}{R^{2}\cos ^{2}V}}={\frac {4\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)^{2}}{\cos ^{2}V}}={\frac {1}{\cos ^{4}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {V}{2}}\right)}}

Bei der Berechnung von λ_V² sind viele Zwischenschritte ausgelassen. Die Umformung gelingt durch vielfache Nutzung der Trigonometrischen Zusammenhänge. Hilfe gibt es in der Formelsammlung Trigonometrie der Wikipedia.

Streckentreue ,Winkeltreue und Flächentreue

Die Verzerrung ist ein Verhältniswert. Es geht um das Verhältnis der Strecke im Urbild zum Abbild. Hier können wir nur für Bogenstücke längs der Parameterlinien Verzerrungseigenschaften angeben, nicht für jedes beliebig gerichtete Bogenstück.

Beurteilung des Beispiels

λ_U und λ_V können, müssen aber nicht die extremalen Verzerrungen sein. Wann Sie es sind, lernen wir auf der nächsten Seite.
Streckentreue auf den Parameterlinien liegt vor für λ =1. Dies ist hier in keinem Fall gegeben.
- Auf den U-Parameterlinien ist die Verzerrung überall gleich, da die Verzerrung nur von V abhängt, welches hier konstant ist.
- Auf den V-Parameterlinien wird die Verzerrung für V gegen π halbe unendlich groß.
Ist die Verzerrung jeweils in einem Punkt in jede Richtung gleich, liegt Winkeltreue vor. Das bedeutet die Verzerrungen müssen bezüglich eines Punktes P₁ oder P₂ gleich sein. Die Verzerrung von P₁ darf sich durchaus von P₂ unterscheiden!
Im Beispiel ist λ_U = λ_V für jeden Punkt P(U,V) erfüllt. Die Abbildung ist winkeltreu.
Für $\lambda _{U}\cdot \lambda _{V}=1$ würde Flächentreue vorliegen. Dem ist hier nicht so.

Definition der Verzerrungen

Definition Streckentreue, Winkeltreue und Flächentreue

Es liegt

Isometrie, d.h alles treu (manchmal auch mit Streckentreue bezeichnet)
Äquidistanz
Winkeltreue
Flächentreue

bezüglich der Parameterlinien vor für

$\lambda _{U}=\lambda _{V}=\mathrm {1}$
$\lambda _{U}=\mathrm {const.}$ , $\lambda _{V}=\mathrm {const.}$
$\lambda _{U}=\lambda _{V}$ in allen Punkten P(U,V)
$\lambda _{U}\cdot \lambda _{V}=1$

und

Isometrie
Äquidistanz
Winkeltreue
Flächentreue

für die gesamte Abbildung, wenn $\lambda _{U}$ und $\lambda _{V}$ die extremalen Verzerrungen sind.

Das Isometrie alle anderen Treueeigenschaften beinhaltet, folgt aus der Bedingung λ_U=λ_V=1.

Es ist wünschenswert, die Verzerrungen für alle Richtungen zu kennen, oder am besten in jedem Punkt die extremalen Verzerrung (Hauptverzerrungen) zu kennen. Wir entwickeln das auf der nächsten Seite.

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