Komplex-differenzierbare Funktionen/ Satz von Cauchy für Sterngebiete und Cauchy-Formel

Definition (Sterngebiet):

Eine Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ der komplexen Ebene heißt Sterngebiet genau dann, wenn es die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. $U$ ist offen, und
2. es gibt einen Punkt $z^{*}$ in $U$, sodass für jeden anderen Punkt $z\in U$ die Gerade ${\overline {zz^{*}}}$ vollständig in $U$ liegt.

Lemma (Goursat‒Pringsheim):

Es sei $S\subseteq \mathbb {C}$, $f:S\to \mathbb {C}$ holomorph und $\Delta \subseteq S$ ein Dreieck in $S$ mit den Ecken $a,b,c\in \mathbb {C}$. Dann gilt

$\int _{\partial \Delta }f(z)dz=0$,

wobei der Rand $\partial \Delta$ des Dreiecks entgegen dem Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

Beweis: Wir zerteilen das Dreieck $\Delta$ in vier neue Dreiecke, indem wir alle Seiten von $\Delta$ halbieren und die entstandenen, halbierenden Punkte als die neuen Punkte von vier Dreiecken nehmen, wie in folgender Abbildung gezeigt:

Unter den vier neu entstandenen Dreiecken wählen wir eins aus, welches wir $\Delta _{1}$ nennen. Dies machen wir, indem wir dasjenige neue Dreieck $\Delta '$ wählen, für welches der Wert

$\left|\int _{\partial \Delta '}f(z)dz\right|$

am größten ist (wenn es verschiedene solche Dreiecke gibt, die den größten Wert geben, so suchen wir uns ein beliebiges aus). Diesen Vorgang wenden wir dann auf $\Delta _{1}$ an; heraus kommt ein neues Dreieck, nämlich $\Delta _{2}$, welches nun nur noch ein Sechzehntel des Flächeninhalts des ursprünglichen Dreiecks hat.

Indem wir immer so weiter verfahren, erhalten wir eine Folge von Dreiecken $\Delta _{1}\supset \Delta _{2}\supset \Delta _{3}\supset \cdots$. All diese Dreiecke sind kompakt, denn sie sind abgeschlossen und beschränkt. Nach dem Cantorschen Schnittmengensatz ist die Schnittmenge all der Dreiecke folglich nichtleer. Daher gibt es einen Punkt

$z_{0}\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\Delta _{n}$.

Da der Durchmesser der Dreiecke gegen Null tendiert und außerdem der zugrundeliegende Raum Hausdorffsch ist, ist dieser Punkt auch der einzige in dieser Schnittmenge. Wegen der komplexen Differenzierbarkeit von $f$ wissen wir schon:

$f(z_{0}+h)=f(z_{0})+f'(z_{0})h+o(|h|)$.

Es gilt nun für jedes $n\in \mathbb {N}$, da sich der Umfang des Dreieckes bei jedem Zerteilen halbiert:

$\left|\int _{\partial \Delta }f(z)dz\right|\leq 4^{n}\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\leq 4^{n}\left(\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z_{0})dz\right|+\left|\int _{\partial \Delta _{n}}(z-z_{0})dz\right|+o({\frac {1}{2^{n}}}\sup _{z\in \partial \Delta _{n}}|z-z_{0}|)\right)$

Jetzt muss man nur noch ausrechnen, dass die zwei Integrale in letzterem Ausdruck verschwinden und $\sup _{z\in \partial \Delta _{n}}|z-z_{0}|\leq {\frac {C}{2^{n}}}$ ist, wobei $C>0$ der Durchmesser des ursprünglichen Dreiecks ist, um den Satz zu erhalten. $\Box$