Komplex-differenzierbare Funktionen/ Struktur einer holomorphen Abbildung in einem Gebiet

Definition (Gebiet):

Ein Gebiet ist eine offene und zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes.

Satz (Identitätssatz):

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, und es seien $f,g:U\to \mathbb {C}$ zwei Funktionen darauf. Wenn die Menge $(f-g)^{-1}(0)=\{z\in U|f(z)=g(z)\}$ einen ω-Häufungspunkt hat, dann gilt sogar $f=g$.

Beweis: Wir definieren

$S:=\{z\in U|z{\text{ ist ein Häufungspunkt der Menge }}(f-g)^{-1}(0)\}$.

Diese Menge ist abgeschlossen, denn wenn $w\in \partial S$ ist, dann enthält jede offene Umgebung $V$ von $w$ ein Element aus $S$, von welchem $V$ dann auch eine Umgebung ist, weshalb $V$ ω viele Elemente aus $(f-g)^{-1}(0)$ enthält.

Die Menge ist aber auch offen, denn falls $z_{0}\in S$ ist, so hat $f-g$ eine Potenzreihenentwicklung um $z_{0}$. Sei nun $n\in \mathbb {N}$ minimal, sodass der $n$-te Koeffizient dieser Potenzreihenentwicklung $c_{n}$ von Null verschieden ist. Dann ist ${\frac {(f-g)(z)}{(z-z_{0})^{n}}}$ eine holomorphe Funktion, die wegen ihrer Stetigkeit in einer Umgebung $V$ von $z_{0}$ nicht verschwindet. Dann ist aber auch $(f-g)(z)=(z-z_{0})^{n}{\frac {(f-g)(z)}{(z-z_{0})^{n}}}$ in $V\setminus \{z_{0}\}$ nicht Null, ein Widerspruch dazu, dass $z_{0}\in S$ ist.

Weil $U$ zusammenhängend ist, gilt daher $U=S$. Aber wegen der Stetigkeit von $f$ gilt $f(z)=g(z)$ für alle $z\in S$. $\Box$

Satz (Satz von Hartogs):

Es seien ${\vec {\epsilon }}$ und ${\vec {\delta }}$ zwei positive Vektoren von Dimension $\geq 2$, sodass bezüglich der strikten punktweisen Teilordnung gilt ${\vec {\epsilon }}>{\vec {\delta }}$. Ferner sei $f:B_{\vec {\epsilon }}(0)\setminus B_{\vec {\delta }}(0)\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann lässt sich $f$ holomorph in den ganzen Polykreis $B_{\vec {\epsilon }}(0)$ fortsetzen.

Beweis: Es seien $z_{2},\ldots ,z_{n}$ so, dass $|z_{j}|<\epsilon _{j}$ für alle $j\in \{2,\ldots ,n\}$. Es genügt, für alle solche $z_{2},\ldots ,z_{n}$ die Funktion

$z_{1}\mapsto f(z_{1},\ldots ,z_{n})$

auf $B_{\epsilon _{1}}(0)$ fortzusetzen (und dann natürlich zu beweisen, dass das Resultat auch holomorph in allen Variablen ist). Dies geht wie folgt: Zunächst ist ja die Funktion, unabhängig, welchen Betrag die $z_{2},\ldots ,z_{n}$ haben, auf dem Annulus $\delta _{1}<|z_{1}|<\epsilon _{1}$ definiert. Darum hat sie eine Laurententwicklung, deren Koeffizienten nach der Leibnizregel für Parameterintegrale alle holomorph von $z_{2},\ldots ,z_{n}$ abhängen. Ist aber $|z_{2}|>\delta _{2}$, so verschwinden alle negativen Koeffizienten dieser Entwicklung, und aufgrund des Identitätssatzes verschwinden diese Koeffizienten auch, wenn $|z_{2}|<\delta _{2}$ ist. Also ist die Laurententwicklung in Wahrheit eine Potenzreihenentwicklung, und diese ist überall definiert und holomorph. $\Box$