Maßtheorie/ Dualraum der Maße

Definition (Schwache Topologie):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {B}}(\Omega ))$ ein messbarer Raum, wobei $\Omega$ mit einer Topologie ausgestattet und ${\mathcal {B}}(\Omega )$ die zugehörige Borel-σ-Algebra sei. Die schwache Topologie auf

${\mathcal {M}}(\Omega ):=\{\mu |\mu {\text{ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf }}(\Omega ,{\mathcal {B}}(\Omega ))\}$

ist die Topologie, für die eine Nachbarschaftsbasis eines beliebigen $\mu \in {\mathcal {M}}(\Omega )$ durch

$U(f_{1},\ldots ,f_{n},\epsilon ,\mu ):=\left\{\nu \in {\mathcal {M}}(\Omega )|\forall j\in \{1,\ldots ,n\}:\left|\int _{\Omega }fd\mu -\int _{\Omega }fd\nu \right|<\epsilon \right\}$ (hierbei $f_{1},\ldots ,f_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ stetig mit kompaktem Träger, $\epsilon >0$)

gegeben ist.

Proposition (Alternative Charakterisierung der schwachen Topologie):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {B}}(\Omega ))$ ein messbarer Raum, und es sei $\Omega$ mit einer Topologie ausgestattet, sodass ${\mathcal {B}}(\Omega )$ die zugehörige Borel-σ-Algebra ist. Es sei ferner die Topologie auf $\Omega$ kompakt und Hausdorffsch. Diejenige Topologie, deren Nachbarschaftsbasen eines $\mu \in {\mathcal {M}}(\Omega )$ durch

$V(A_{1},\ldots ,A_{n},\epsilon ,\mu )$ (hierbei $A_{1},\ldots ,A_{n}\subseteq \Omega$ abgeschlossen und $\epsilon >0$)

gegeben sind, stimmt mit der schwachen Topologie auf ${\mathcal {M}}(\Omega )$ überein.

Beweis: Es sei $\mu \in {\mathcal {M}}(\Omega )$, und des weiteren sei $\epsilon >0$.

Seien zunächst $n$ abgeschlossene Mengen $A_{1},\ldots ,A_{n}$ in $\Omega$ gegeben. Ist $U_{j}\supseteq A_{j}$ für ein $j\in \{1,\ldots ,n\}$, so garantiert das Lemma von Urysohn die Existenz einer stetigen Funktion

$g_{j}:\Omega \to [0,1]$,

die die Bedingungen $g_{j}\upharpoonright _{\Omega \setminus U_{j}}=0$ und $g_{j}\upharpoonright _{A_{j}}=1$ erfüllt. Des weiteren kann man wegen der [[Regularität von $\mu$]] annehmen, dass $\mu (U_{j}\setminus A_{j})\leq \epsilon /2$ für alle $j\in \{1,\ldots ,n\}$ gilt. Auf Basis der Gleichung

${\begin{aligned}\left|\int _{\Omega }g_{j}d\mu -\int _{\Omega }g_{j}d\nu \right|&=\left|\mu (A_{j})-\nu (A_{j})+\int _{\Omega \setminus A_{j}}g_{j}d\mu -\int _{\Omega \setminus A_{j}}g_{j}d\nu \right|\\&\geq \left|\mu (A_{j})-\nu (A_{j})\right|-\epsilon /2\end{aligned}}$

(unter Benutzung der zweiten Dreiecksungleichung) schließen wir, dass

$U(g_{1},\ldots ,g_{n},\epsilon /2,\mu )\subseteq V(A_{1},\ldots ,A_{n},\epsilon ,\mu )$

gilt.

Ungekehrt seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ stetige Funktionen auf $\Omega$ mit kompaktem Träger. Nach Definition des Lebesgue-Integrals können wir für jedes $j\in \{1,\ldots ,n\}$ die Funktionen $(f_{j})_{+}$ und $(f_{j})_{-}$ durch einfache Funktionen $s_{j,+}$ bzw. $s_{j,-}$ so genau approximieren, dass

$\|(f_{j})_{+}-s_{j,+}\|_{\infty }<\epsilon /6$ bzw. $\|(f_{j})_{-}-s_{j,-}\|_{\infty }<\epsilon /6$

gilt. Wir schreiben

$s_{j,+}=\sum _{k=1}^{m_{j}}\mathbb {1} _{C_{j,k}}\alpha _{j,k}$ und $s_{j,+}=\sum _{k=1}^{l_{j}}\mathbb {1} _{D_{j,k}}\beta _{j,k}$

für $j\in \{1,\ldots ,n\}$. Da $f_{j}$ jeweils stetig ist, sodass $f_{j}^{-1}((-\infty ,\alpha _{j,k}]$ abgeschlossen ist, können wir $C_{j,k}$ durch seinen Abschluss ${\overline {C_{j,k}}}$ ersetzen und so gleich annehmen, dass $C_{j,k}$ abgeschlossen ist. Wegen

${\begin{aligned}\left|\int _{\Omega }f_{j}d\mu -\int _{\Omega }f_{j}d\nu \right|&\leq \left|\int _{\Omega }f_{j}d\mu -\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\mu \right|+\left|\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\mu -\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\nu \right|+\left|\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\nu -\int _{\Omega }f_{j}d\nu \right|\\&\leq \epsilon /3+\sum _{k=1}^{m_{j}}|\alpha _{j,k}||\mu (C_{j,k})-\nu (C_{j,k})|+\sum _{k=1}^{l_{j}}|\beta _{j,k}||\mu (D_{j,k})-\nu (D_{j,k})|+\epsilon /3\end{aligned}}$

erhalten wir dann

$V(C_{1,1},\ldots ,C_{1,m_{1}},\ldots ,C_{n,1},\ldots ,C_{n,m_{n}},D_{1,1},\ldots ,D_{1,l_{1}},\ldots ,D_{n,1},\ldots ,D_{n,l_{n}},\epsilon /3\cdot \kappa ,\mu )\subseteq U(f_{1},\ldots ,f_{n},\epsilon ,\mu )$,

wobei

$\kappa ={\frac {1}{\left(\sum _{j=1}^{n}m_{j}\right)\cdot \max _{j\in \{1,\ldots ,n\}}\max _{k\in \{1,\ldots ,m_{j}}|\alpha _{j,k}|+\left(\sum _{j=1}^{n}l_{j}\right)\cdot \max _{j\in \{1,\ldots ,n\}}\max _{k\in \{1,\ldots ,l_{j}}|\beta _{j,k}|}}$. $\Box$