Maßtheorie für Einsteiger/ Mengensysteme

Unter einem Mengensystem kann man sich eine Menge vorstellen, deren Elemente selbst wiederum Mengen sind. Ein wichtiges Mengensystem ist die Potenzmenge. Die Potenzmenge $2^{\Omega }$ einer Grundmenge $\Omega$ enthält alle Teilmengen als Elemente, die sich aus den Elementen der Menge $\Omega$ erzeugen lassen.

Beispiel: Sei $\Omega$={a,b,c}. Dann ist $2^{\Omega }$={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}, wobei {a}, {a,b} etc. jeweils Teilmengen von $\Omega$ sind.

Die Bezeichnung der Potenzmenge von $\Omega$ mit $2^{\Omega }$ rührt daher, dass sich die Anzahl der Elemente der Potenzmenge mit jedem zusätzlichen Element, das in der Menge $\Omega$ enthalten ist verdoppelt. Dies lässt sich anhand obigen Beispiels wie folgt veranschaulichen: Wird der Menge $\Omega$ ein Element d hinzugefügt, so enthält die Potenzmenge alle Teilmengen, die bereits in der ursprünglichen Potenzmenge enthalten waren und außerdem alle Teilmengen, die sich aus den ursprünglich in der Potenzmenge enthaltenen Teilmengen ergeben, wenn diesen das zusätzliche Element d hinzugefügt wird.

$\sigma$-Algebra

Ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$, welches die Eigenschaften

• $\Omega \in {\mathcal {A}}$
• gilt $A\in {\mathcal {A}}$ für eine beliebige Menge A, so gilt auch $\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$, das heißt das Komplement einer Menge, die in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist, ist ebenfalls in ${\mathcal {A}}$ enthalten
• für alle Mengen $A_{i}\in {\mathcal {A}}$ mit $i\in \mathbb {N}$ folgt $\cup _{i}A_{i}\in {\mathcal {A}}$

erfüllt, wird als $\sigma$-Algebra bezeichnet. Man spricht in diesem Fall auch von einer $\sigma$-Algebra in $\Omega$.

Aus den ersten beiden Eigenschaften folgt sofort, dass auch die leere Menge $\emptyset$ in jeder $\sigma$-Algebra enthalten ist. Mittels der De Morganschen Gesetze und der letzten beiden Eigenschaften lässt sich zudem zeigen, dass nicht nur die Vereinigung beliebig vieler Mengen aus einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist, sondern dass auch der Schnitt beliebig vieler Mengen aus ${\mathcal {A}}$ ebenfalls in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist.

Mengensysteme, bei denen es sich um eine $\sigma$-Algebra handelt, spielen in der Maßtheorie eine große Rolle, wie wir später noch sehen werden. Dies liegt an den aufgeführten Eigenschaften der $\sigma$-Algebra, nach denen Mengen, die durch Mengenoperationen wie Komplentbildung, Vereinigung und Schnitt aus den Teilmengen einer $\sigma$-Algebra hervorgehen ebenfalls Elemente der $\sigma$-Algebra sind. Diese Tatsache machen sich viele Beweise zu Nutzen.

Messbare Menge (Definition)

• Eine Menge A wird als messbar bezüglich einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ bezeichnet, wenn $A\in {\mathcal {A}}$ gilt.

Erzeuger

Ein Mengensystem ${\mathcal {T}}$ heißt Erzeuger der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}'$, wenn ${\mathcal {A}}'$ anschaulich gesprochen die kleinste in der Potenzmenge $2^{\Omega }$ enthaltene $\sigma$-Algebra ist, die ${\mathcal {T}}$ enthält, wenn es also keine andere $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ gibt, für die ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}'$ und ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {A}}$ gilt. Mathematisch formuliert ergibt sich die $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}'$ zu einem Erzeugendensystem ${\mathcal {T}}$ durch Bildung des Schnitts über alle $\sigma$-Algebren die das Erzeugendensystem erhalten:

${\mathcal {A}}'=\bigcap \{{\mathcal {A}}\subset 2^{\Omega }$ ist $\sigma$-Algebra $\mid {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {A}}\}$

Die von einem Mengensystem ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}'$ wird auch als $\sigma ({\mathcal {T}})$ bezeichnet. In vielen Fällen lässt sich eine $\sigma$-Algebra durch Angabe des Erzeugendensystems wesentlich eleganter und kürzer definieren, als beispielsweise durch Angabe aller einzelnen enthaltenen Teilmengen.