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Maßtheorie für Einsteiger/ Messbare Funktionen

Aus Wikibooks

Messbare Funktion (Definition)

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Eine Funktion deren Definitionsbereich der Messraum und deren Bildbereich der Messraum ist wird als messbare Funktion bezeichnet, wenn das Urbild jeder Menge aus der Bildmenge messbar bezüglich ist, wenn also

für alle Mengen

gilt [1]. Man sagt in diesem Fall auch, dass -messbar ist.

Beispiele für messbare Funktionen

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Prüfung auf Messbarkeit mittels Erzeugendensystem

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Um zu zeigen, dass es sich bei einer Abbildung um eine messbare Funktion handelt, müsste nach der Definition einer messbaren Funktion für jede Menge geprüft werden, ob das Urbild in der -Algebra enthalten ist.

Falls ein Mengensystem existiert, das Erzeuger der -Algebra ist, vereinfacht sich die Prüfung auf Messbarkeit. Unter diesen Voraussetzungen lässt sich zeigen, dass die Eigenschaften einer messbaren Funktion erfüllt, wenn die Urbilder aller in enthaltenen Mengen in der -Algebra enthalten sind. Dies hat vor allen Dingen einen praktischen Nutzen, da das Erzeugendensystem einer -Algebra im Allgemeinen wesentlich weniger Elemente enthält als die entsprechende -Algebra. Je nach Konstellation reduziert sich die Anzahl der Mengen, bei denen geprüft werden muss, ob das Urbild in enthalten ist daher deutlich.

Treppenfunktionen

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Approximation durch Treppenfunktionen

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Bildmaß

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Quellenangaben

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  1. Artikel zu messbaren Funktionen bei Wikipedia