Makroökonomik/ Die langfristige Perspektive: Das klassische Modell

Um das Kapitel mit der gebührenden Ausführlichkeit zu behandeln, ist es für dieses Kapitel unerlässlich auf mathematische Mittel zurückzugreifen. Dabei werden insbesondere Kenntnisse über mathematische Funktionen und ihre Ableitungen benötigt.

Im Zuge der Kapitel 2 und 3, Kreislaufanalyse und Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung, wurde die Wirtschaft als Kreislauf dargestellt und das BIP erklärt. Im folgenden Kapitel wird das klassische Modell erläutert, welches sich zunächst an den beiden genannten Konzepten orientiert, es wird erklärt, was den Output einer Wirtschaft, also das BIP, bestimmt. Hier kommt die mikroökonomische Fundierung der Makroökonomik zur Geltung. Ferner soll bestimmt werden, wie sich das BIP auf die Wirtschaftssubjekte verteilt, da, wie aus der VGR hervorgeht, die Produktion gleich den Einkommen ist.

Wichtig ist, die Klassik beschreibt die langfristige Entwicklung der Wirtschaft, das heißt, die hier gewonnenen Erkenntnisse spiegeln wieder, welchem Zustand eine Volkswirtschaft entgegen geht.

Was bestimmt den Output einer Volkswirtschaft?

Der Output einer Wirtschaft gleicht dem BIP, also allen produzierten Waren und Dienstleistungen. Die Menge der Produktion hängt vom Einsatz der Produktionsfaktoren ab. Eine Produktionsfunktion vermag diesen Zusammenhang zu verdeutlichen:

$Y=F(K,L)$

Die Produktionsfunktion sei gegeben durch die sogenannte Cobb-Douglas Produktionsfunktion. Bei der Cobb-Douglas Produktionsfunktion handelt es sich um eine Standardfunktion der Volkswirtschaftslehre, die in vielerlei Modellen und Theorien Anwendung findet, da sie viele Eigenschaften besitzt, die realitätsbezogene Annahmen ermöglichen.

$F(K,L)=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }$

Die Variablen K und L stehen jeweils für den entsprechenden Produktionsfaktor, K für Kapital und L für Arbeit (engl. "labour"). Das A ist ein Parameter, der den technologischen Fortschritt darstellt. Das α ist ein Parameter zwischen 0 und 1, der die Gewichtung der einzelnen Produktionsfaktoren im Produktionsprozess angibt.

Nun versetze man sich in die Situation eines Unternehmens, das überlegt, mit welchen Faktoreinsätzen, es seinen Gewinn maximieren kann. Der Profit ergibt sich dabei wie folgt:

$\pi =PY-wL-RK$

Dabei steht π für den Profit, P mal Y ist der Erlös, der sich aus dem Verkauf des Outputs Y zum Preis P ergibt. Von diesem Erlös müssen die Kosten für Arbeit, w mal L, und für Kapital, R mal K, subtrahiert werden. L und K sind die aufgewendeten Einsätze für Arbeit und Kapital und w (Lohn, engl. "wages") und R (Mietpreis, engl. "rental rate") entsprechen den Kosten für den entsprechenden Produktionsfaktor.

Bei diesem Unternehmen handelt es sich um ein Unternehmen, das sich in vollständiger Konkurrenz befindet, das bedeutet, es verfügt nicht über Marktmacht, sodass es keine Preise beeinflussen kann. Das Unternehmen ist ein Preisnehmer und ein Mengenanpasser, die Produktion und die Faktoreinsätze werden also durch die exogen gegebenen Bedingungen am Kapital- und Arbeitsmarkt, sowie dem Preis am Absatzmarkt beeinflusst. Um zu bestimmen, welche Mengen K und L eingesetzt werden sollten, muss zunächst das Prinzip des abnehmenden Grenzprodukts erläutert werden:

Das abnehmende Grenzprodukt beschreibt, dass, wenn ein Inputfaktor konstant gehalten wird, der zusätzliche Output, den eine weitere Einheit des anderen Inputfaktors bringt, mit jedem Mal abnimmt. Beispielsweise wird eine Bäckerei mit 2 Bäckern und 4 Öfen betrieben. Das Einstellen zwei weiterer Bäcker ist sinnvoll, damit die Produktionskapazitäten voll ausgenutzt werden können. Der 5te Bäcker erhöht zwar auch den Output, aber weniger als die Einstellung des 3ten und des 4ten Bäckers. Der 6te und der 7te Bäcker bringen immer weniger zusätzliche Erträge, da sie sich beispielsweise im Weg rumstehen oder die 4 Öfen nicht mehr ausreichen, um das dauerhafte Arbeiten der Bäcker zu garantieren. In diesem Beispiel sprechen wir vom abnehmenden Grenzprodukt der Arbeit (MPL, aus dem englischen "marginal product of labour"). Umgekehrt spricht man vom abnehmenden Grenzprodukt des Kapitals (MPK, aus dem englischen "marginal product of capital"), also den abnehmenden Nutzen eines 5ten und 6ten Ofens bei nur 3 Bäckern. Das Grenzprodukt eines Produktionsfaktors kann durch die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach der entsprechenden Variable beschrieben werden.

$MPL={\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}};\qquad \qquad MPK={\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}$

Damit nun der optimale Kapital- und Arbeitseinsatz berechnet werden kann, setzt man F(K,L) in die Funktion, die den Profit beschreibt, für Y ein. Anschließend berechnet man jeweils das Extremum für K und L.

Die optimale Menge für L ergibt sich im Schnittpunkt des Grenzprodukts der Arbeit und des Reallohns.

$\pi =PY-wL-RK$

$\pi =PF(K,L)-wL-RK$

$\pi =P(AK^{\alpha }L^{1-\alpha })-wL-RK$

${\frac {\partial \pi }{\partial L}}=P\cdot {\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}-w$

Damit die Extremalbedingung erfüllt ist, muss man die Ableitung gleich Null setzen:

$P\cdot {\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}-w=0$

$P\cdot {\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}=w$

${\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}={\frac {w}{P}}$

w/P beschreibt den Reallohn, es ist der nominale Lohn geteilt durch das Preisniveau und beschreibt den Lohn in Gütern statt in Geldeinheiten ausgedrückt. Das Maximum für den Arbeitseinsatz L ergibt sich also dort, wo das Grenzprodukt der Arbeit gleich dem Reallohn ist. Dies ergibt auch Sinn, denn das Grenzprodukt der Arbeit gibt an, wieviel zusätzlichen Output eine weitere Einheit Arbeit bringt. Wenn dieser Output größer ist als die Kosten dieser zusätzlichen Einheit Arbeit, dann ist es lohnenswert diese Einheit Arbeit zu nutzen. Übersteigen die Kosten jedoch den zusätzlichen Output, so macht man Verlust und sollte weniger Einheiten Arbeit nutzen.

Dies ist die Stelle an der es wichtig wird, dass es sich um ein Unternehmen handelt, dass über keinerlei Marktmacht verfügt: der Lohn, also die Kosten für eine Einheit Arbeit, werden durch den Markt bestimmt, sie sind also vorgegeben. Dadurch kann der optimale Arbeitseinsatz bestimmt werden.

Gleiches gilt analog für den Kapitaleinsatz:

Die optimale Menge für K ergibt sich im Schnittpunkt des Grenzprodukts des Kapitals und des Mietpreises des Kapitals.

$\pi =PY-wL-RK$

$\pi =PF(K,L)-wL-RK$

$\pi =P(AK^{\alpha }L^{1-\alpha })-wL-RK$

${\frac {\partial \pi }{\partial K}}=P\cdot {\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}-R$

Um die Extremalbedingung zu erfüllen muss die Ableitung wieder gleich Null gesetzt werden:

$P\cdot {\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}-R=0$

$P\cdot {\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}=R$

${\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}={\frac {R}{P}}$

Auch für das Kapital sind die realen Mietpreise des Kapitals eindeutig bestimmt, das heißt R/P ist gegeben und das Unternehmen muss sich an diesem Preis orientieren. Durch die Berechnung lokaler Extrema wurde mikroökonomisch der optimale Produktionsfaktoreinsatz bestimmt. Da sich dieses Kalkül nicht ändert und nur von den vorhandenen Mengen K und L beeinflusst wird, die wiederum gegeben sind, kann festgehalten werden, dass auch die Faktoreinsätze langfristig, wenn auch in Abhängigkeit der Verfügbarkeit von K und L, stets gegeben sind. (Etwas weiter oben hieß es, dass die Einsätze durch die Preise bestimmt werden, dies ist das selbe, da der Preis letztlich nichts anderes widerspiegelt, als die Verfügbarkeit einer Menge; hoher Preis, das Gut ist rar und niedriger Preis, das Gut ist vielfach vorhanden.) Daraus folgt also:

$Y=F({\overline {K}},{\overline {L}})$

${\overline {Y}}=F({\overline {K}},{\overline {L}})$

Gegebene, bzw. exogene Größen werden mit einem Strich über der entsprechenden Variable gekennzeichnet. Die eingangs gestellte Frage, wie der Output langfristig bestimmt wird ist also wie folgt zu beantworten: Der Output einer Wirtschaft ist langfristig durch exogene Variablen, nämlich dem Faktorangebot von K und L bestimmt, da sich die Unternehmen nach diesem Angebot richten. Des Weiteren sind die Märkte langfristig immer in einem Gleichgewicht, d.h., das gesamte Faktorangebot wird nachgefragt.

Wie werden die Einkommen verteilt?

Zur Beantwortung dieser Frage wurde bei der vorherigen Fragestellung schon viel wichtige Vorarbeit geleistet. Unter anderem wurde gesagt, dass die benutzte Produktionsfunktion über abnehmende Grenzprodukte verfügt, sofern ein Produktionsfaktor konstant gehalten wird, siehe Beispiel der Bäckerei. Um dieses Beispiel wieder aufzugreifen: Angenommen es gibt eine Bäckerei mit 2 Bäckern und 2 Öfen. Nun wird nicht nur ein Produktionsfaktor erhöht, sondern beide, sie werden verdoppelt. Die Bäckerei verfügt nun über 4 Bäcker und 4 Öfen und dementsprechend steigt auch der Output proportional. Werden alle relevanten Produktionsfaktoren gleichmäßig erhöht, so erhöht sich auch der Output entsprechend. Dies bezeichnet man als konstante Skalenerträge. Mathematisch bedeutet dies, werden die Produktionsfaktoren um z erhöht, so muss auch der Output um z steigen.

$zY=F(zK,zL)$

Aufgrund dessen gilt:

$F(K,L)={\frac {\partial F}{\partial K}}\cdot K+{\frac {\partial F}{\partial L}}\cdot L$

Diese Gleichung zeigt zunächst, dass die Einkommen komplett auf die Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital verteilt werden. Es drängt sich nun die Frage auf, in welchem Verhältnis das Einkommen verteilt wird.

Die Ableitung von F(K,L) nach L ergibt das Grenzprodukt der Arbeit MPL. Wie aus der vorherigen Fragestellung hervorgeht, ist MPL gleich dem vom Markt vorgegebenem Reallohn. L mal MPL entspricht also der Entlohnung für den Produktionsfaktor Arbeit. Gleiches gilt für K. Um herauszufinden, in welchem Verhältnis sich das Einkommen verteilt betrachtet man die einzelnen Ableitungen von F(K,L) und formt sie algebraisch so um, dass man auf einer Seite das Grenzprodukt, also der Preis, mal der eingesetzten Menge stehen hat:

$MPL=(1-\alpha )AK^{\alpha }L^{-\alpha }\qquad \qquad \qquad \qquad MPK=\alpha AK^{\alpha -1}L^{1-\alpha }$

$MPL\cdot L=(1-\alpha )AK^{\alpha }L^{-\alpha }\cdot L\qquad \qquad \qquad \qquad MPK\cdot K=\alpha AK^{\alpha -1}L^{1-\alpha }\cdot K\qquad \qquad \qquad \qquad$

$MPL\cdot L=(1-\alpha )AK^{\alpha }L^{1-\alpha }\qquad \qquad \qquad \qquad MPK\cdot K=\alpha AK^{\alpha }L^{1-\alpha }$

$MPL\cdot L=(1-\alpha )Y\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad MPK\cdot K=\alpha Y$

Man kann also eindeutig bestimmen, dass das Faktoreinkommen für Arbeit (1-α)Y und das Faktoreinkommen für Kapital αY beträgt. Aufgrund dessen wird dem α innerhalb der Produktionsfunktion eine wichtige Eigenschaft zu eigen, nicht nur gibt das α an, wie stark die einzelnen Produktionsfaktoren Einfluss nehmen auf die Produktion, sondern es gibt ebenfalls an, wie sich der Output auf beide Produktionsfaktoren verteilt. Dies erscheint auch sinnvoll, da die Produktionsfaktoren so proportional zu ihrem Einfluss entlohnt werden. Empirisch gibt es für die Industrienationen ein α=0,3. Das bedeutet, dass etwa 70% der Gesamtentlohnung für die Entlohnung der Arbeiter verwendet wird.

Man mag an dieser Stelle den Einwand hervorbringen, dass die Einkommensverteilung nicht realitätsnah erscheint, da große Firmen Profite generieren und nicht alles an die Anteilseigner ausschütten. Diesbezüglich sei darauf hingewiesen, dass die meisten Firmen sich auch kein Kapital mieten müssen, sondern es meist schon besitzen. Das Einkommen für den Produktionsfaktor Kapital kann in diesem Zusammenhang teilweise als Profit der Firmen interpretiert werden.

Was bestimmt die Nachfrage?

Im folgenden geht es um die langfristige Nachfrage in einer Volkswirtschaft. Im Kapitel "Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung" wurde bereits im Zuge der Verwendungsrechnung angedeutet, wofür die Wirtschaftssubjekte ihre Einkommen potenziell benutzen können: Konsumausgaben, Investitionen und Staatsausgaben.

$Y=C+I+G$

Konsumausgaben

Die Konsumausgaben umfassen alle Ausgaben für konsumtive Güter, das heißt für Güter, die wir innerhalb kurzer Zeit verbrauchen, typische Beispiele sind Essen, Seife, Benzin, Anziehsachen, Zugtickets, usw. Die Höhe des Konsums hängt vom verfügbaren Einkommen Yd ab, je mehr Einkommen zur Verfügung steht, desto mehr wird konsumiert, sei es durch bloße Erhöhung der Güterkäufe oder durch den Erwerb von teuren Luxusgütern. Das verfügbare Einkommen Yd ergibt sich aus der Differenz von Gesamteinkommen Y und den, an den Staat abzuführenden, Steuern T. Ein Teil des Einkommens wird auch gespart, sodass das verfügbare Einkommen nicht gleich den Konsumausgaben ist. Der Konsum in der Volkswirtschaft kann durch eine Konsumfunktion beschrieben werden:

$C(Yd)=c(Yd)+C_{aut}$

$Yd=Y-T$

Das kleine c steht hierbei für die marginale Konsumquote (MPC, aus dem englischen "marginal propensity to consume"). Sie gibt an, wieviel bei einer zusätzlichen Einheit Einkommen gespart wird, es ist also ein vorgegebener Parameter zwischen 0 und 1. $C_{aut}$ steht für den autonomen Konsum und ist ein umstrittener Parameter. Allgemein wird diese additive Konstante verwendet, um sich die Möglichkeit offen zu halten, einen Konsumschock simulieren zu können. Der Graph der Funktion ist zur y-Achse hin nicht komplett gezeichnet, was verdeutlichen soll, dass man nicht weis, was in einer Volkswirtschaft passiert, die über keinerlei Einkommen verfügt.

Investitionen

Investitionen sind Ausgaben, die einen längeren Nutzen stiften, oder Gewinne erzeugen können. Beispielhaft sind hier der Kauf eines Hauses oder eines Autos, sowie die Unterstützung eines vielversprechenden Projekts. Die Investitionen hängen von der volkswirtschaftlichen Ersparnis ab, da Investitionen meist über den Finanzmarkt finanziert werden. Die Kosten für Investitionen sind ein bestimmter Zins r. Das Investitionsvolumen einer Volkswirtschaft kann also als eine Funktion in Abhängigkeit von r dargestellt werden:

$I=I(r)$

Die Funktion weist eine negative Steigung auf, da bei sinkendem Zins das Investitionsvolumen steigt. Investitionen sind bei einem niedrigeren Zins lukrativer als bei einem hohen, sodass zum einen viele Leute bei einem hohen Zins nicht mehr investieren möchten und zum anderen nur solche Investitionen getätigt werden, deren Rendite mindestens gleich dem Zins ist.

Staatsausgaben

Die Staatsausgaben sind eine gegebene Größe und ergeben sich aus dem Volumen der Besteuerung. Sind die Staatsausgaben höher als die Steuereinnahmen, so spricht man in der Makroökonomik von einem Haushaltsdefizit. Sind die Steuereinnahmen höher als die Staatsausgaben, so spricht man von einem Haushaltsüberschuss. Gleichen sich beide Größen handelt es sich um einen ausgeglichenen Haushalt.

${\overline {T}}={\overline {G}}$

Wie kommt es langfristig zu einem ökonomischen Gleichgewicht?

In den vorangegangenen Abschnitten wurde geklärt, wie die Produktion in einer Volkswirtschaft langfristig zustande kommt, wie die Einkommen langfristig verteilt werden, und wofür diese langfristig ausgegeben werden. Die Frage die sich nun stellt ist, wie es passiert, dass die Volkswirtschaft langfristig immer in einem Gleichgewicht ist, das heißt, dass der produzierte Output auch gewünscht und komplett nachgefragt wird. Geht man die vorangegangenen Fragestellungen durch, so stößt man auf mehrere Gleichungen und Funktionen, die man zusammenführen muss.

$(1)\qquad Y=C+I+G$

$(2)\qquad C=C(Yd)$

$(3)\qquad I=I(r)$

$(4)\qquad {\overline {G}}={\overline {T}}$

In diesem Gleichungssystem befinden sich viele Variablen, die zunächst einfach, mit den zur Verfügung stehenden Informationen, aufgeschlüsselt werden müssen. T und G sind exogen gegeben. Weiterhin ist bekannt, dass der Output Y ebenfalls exogen gegeben ist durch F(K,L) mit gegebenen K und L:

${\overline {Y}}=F({\overline {K}},{\overline {L}})$

Da die Konsumfunktion C vom Einkommen Y und den Steuerabgaben T abhängig ist, Größen, die bis hier hin eindeutig bestimmt wurden, muss auch der Wert von C eindeutig bestimmbar sein:

${\overline {C}}({\overline {Y}}-{\overline {T}})$

Setzen wir (2), (3) und (4) entsprechend in (1) ein, dann ergibt sich:

${\overline {Y}}={\overline {C}}({\overline {Y}}-{\overline {T}})+I(r)+{\overline {G}}$

Es sind alle Variablen bis auf r eindeutig bestimmt. Durch r muss also gewährleistet werden, dass der Output auch komplett nachgefragt wird. Ist Y größer als die rechte Seite, dann sinkt r um das Investitionsvolumen zu erhöhen und so beide Seiten auszugleichen. Umgekehrt gilt dasselbe, ist der Output kleiner als die rechte Seite, dann steigt der Zins, um das Investitionsvolumen zu reduzieren und so die rechte Seite entsprechend anzupassen. Das langfristige Gleichgewicht wird also durch Veränderungen von r gewährleistet.

Gleichgewicht im Finanzmarkt

Um im Detail herausfiltern, wie der Zins r als Allokationsmechanismus fungiert, wird die Gleichung der Verwendungsrechnung wie folgt umgeformt:

Der Schnittpunkt der Ersparnisse und der Investitionen ergibt den gleichgewichtigen Zins r*

$Y=C+I+G$

$Y-C-G=I$

$Y-C-T+T-G=I$

$(Y-C-T)+(T-G)=I$

$S_{H}+S_{St}=I$

$S=I(r)$

Zunächst wurden die Konsumausgaben und die Staatsausgaben subtrahiert. Anschließend wurde T subtrahiert und anschließend wieder addiert, um die Richtigkeit der Gleichung zu wahren. Die verschiedenen Größen können zu zwei bestimmten Summanden addiert werden: dem Sparen der Haushalte und dem Sparen des Staates. Das Sparen der Haushalte ist die Differenz von Y-C-G; alles was nicht von den Haushalten für Steuern oder Konsum ausgegeben wurde, müssen deren Ersparnisse sein. Es sei an dieser Stelle angemerkt, die Höhe des Sparens ist abhängig von der marginalen Konsumquote der Haushalte. Im Gegensatz dazu hat der Staat feste Steuereinnahmen und Staatsausgaben, die Summe von beiden ist das Sparen des Staates, welches auch negativ sein kann. Die Summe des privaten Sparens und des Sparen des Staates ist das nationale Sparen. Das nationale Sparen entspricht dem Investitionsvolumen, reguliert durch r. Dies kann prinzipiell wie ein normaler Markt mit Angebot und Nachfrage betrachtet werden, allerdings ist das Angebot der Ersparnisse vertikal, also prinzipiell unabhängig vom Zins. Das liegt daran, dass es noch keine Fundierung darüber gibt, ob ein höherer Zins entweder ein Anreiz dafür ist mehr zu sparen, da man mehr verdienen kann, oder weniger zu sparen, da man durch den höheren Zins seine Ersparnis reduzieren kann, ohne das Einkommensniveau durch das Sparen selbst zu reduzieren. Die Haushalte und der Staat tragen ihre Ersparnisse an den Finanzmarkt, auf welchem sie einen Zins r bekommen und die Höhe dieses Zinses bestimmt das Investitionsvolumen und damit auch das langfristige, volkswirtschaftliche Gleichgewicht.

Zusammenfassung

1. Der Output einer Volkswirtschaft ist langfristig eine exogene Größe, die durch das Angebot von Produktionsfaktoren bestimmt wird.

2. Die Einkommen einer Volkswirtschaft verteilen sich komplett auf die verwendeten Produktionsfaktoren und zwar proportional zu ihrem Einfluss auf die Produktion.

3. Die Nachfrage innerhalb einer Volkswirtschaft wird bestimmt durch Konsumausgaben, Staatsausgaben und Investitionen.

4. Das Gleichgewicht innerhalb der Volkswirtschaft wird durch den Zins r gewährleistet. Er ist die einzige variable Größe im langfristigen Modell, die sich immer so anpasst, dass der produzierte Output Y auch nachgefragt wird.

Sprachlicher Appendix

abnehmendes Grenzprodukt - diminishing marginal product (DMP)
ausgeglichener Haushalt - balanced budget
Grenzprodukt der Arbeit - marginal product of labour (MPL)
Grenzprodukt des Kapitals - marginal product of capital (MPK)
Haushaltsdefizit - budget deficit
Haushaltsüberschuss - budget surplus
Investitionen - investments
Investitionsfunktion - investment function
konstante Skalenerträge - constant returns to scale
Konsumausgaben - consumption expenditures
Konsumfunktion - consumption function
marginale Konsumquote - marginal propensity to consume (MPC)
Marktgleichgewicht - market equilibrium
Mietpreis des Kapitals - real rental price of capital
nationales Sparen - national saving
öffentliches Sparen - public saving
privates Sparen - private saving
Produktionsfaktor Arbeit - labour
Produktionsfaktor Kapital - capital
Produktionsfaktoren - factors of production
Produktionsfunktion - production function
Reallohn - real wage
Realzins - real interest rate
sinkende Skalenerträge - decreasing returns to scale
Staatsausgaben - government purchases
steigende Skalenerträge - increasing returns to scale
verfügbares Einkommen - disposable income