MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Ableitung der Umkehrfunktion

Nachdem wir uns im letzten Kapitel mit der Verkettung von Funktionen und deren Ableitung beschäftigt haben, soll uns nun die Ableitung der Umkehrfunktion interessieren.

Schreibweise der Umkehrfunktion

Bevor wir uns eingehend mit der Umkehrfunktion beschäftigen, führen wir zunächst die Notation ein: Die Umkehrfunktion einer Funktion $f(x)$ schreiben wir entweder $f^{-1}(x)$ , wobei darauf hinzuweisen ist, dass die $-1$ keinen Exponenten darstellt, oder aber mit einem Querbalken über dem f: ${\overline {f}}(x)$ Da die erste Bezeichnung in der Literatur häufiger zu sein scheint, werden wir diese im folgenden benutzen.

Definition und Bedeutung der Umkehrfunktion

Zunächst einmal muss uns daher interessieren, welche Merkmale eine Umkehrfunktion besitzt, bzw. was eine Umkehrfunktion überhaupt ist. Hierzu eine Definition: Die Umkehrunktion einer bijektiven Funktion $f(x)$ bildet jedes Element der Wertemenge von $f(x)$ auf sein Urbild ab. Vereinfacht gesagt bedeutet dies, dass beim Einsetzen der y-Werte unser Funktion $f(x)$ die x-Werte dabei herauskommen.

Konkret bedeutet das, dass die Verkettung einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion wieder den Ursprungswert erzeugt. Man nennt dies auch „Identität“. Es ist also: $f^{-1}(f(x))=x$ . Graphisch heißt das, dass der Graph der Umkehrfunktion im Vergleich zur Ausgangsfunktion um 90° im Uhrzeigersinn gekippt ist oder anders gesagt an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt wurde.

Umkehrbarkeit und Differenzierbarkeit

Ein weiterer wichtiger Punkt ist festzustellen, ob und wann eine Funktion umkehrbar ist. Aus der oben gegebenen graphischen Erläuterung ergibt sich, dass manche Funktionen nicht oder nur teilweise umkehrbar sind, da zum Beispiel die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=x^{2}$ für jeden x-Wert (mit Ausnahme von 0) genau zwei y-Werte besäße. Das widerspricht aber der Definition einer Funktion, die eine eindeutige Zuordnung verlangt.

Daraus ergibt sich, dass nur diejenigen Funktionen über ihren gesamten Definitionsbereich umkehrbar sind, die bijektiv sind, also eine eindeutige Zuordnung besitzen. Alle anderen Funktionen lassen sich höchstens über Teilintervalle umkehren. Anders formuliert bedeutet dies, dass eine Funktion nur über die Intervalle umkehrbar ist, in denen sie eine monotone Steigung aufweist. So ist unsere Beispielfunktion $f(x)=x^{2}$ entweder nur über den negativen, oder nur über den positiven Bereich der reellen Zahlen umkehrbar. Letztere Umkehrung kennt man auch unter der Funktion der Quadratwurzel $f(x)={\sqrt {x}}$ .

Ist nun eine über ein Intervall $I$ umkehrbare Funktion über diesem Intervall auch differenzierbar, so gilt für die Umkehrfunktion, dass sie ebenfalls differenzierbar ist. Mit Hilfe der oben gegebenen graphischen Bedeutung der Umkehrfunktion als Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden sollte dies deutlich werden.

Definitionsbereich und Wertebereich der Umkehrfunktion

Bei genauerer Betrachtung verschiedener Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen erkennt man, dass Definitions- und Wertebereiche der beiden Funktionen nicht übereinstimmen. Aus der Definition der Umkehrfunktion lässt sich nun ableiten, dass der Definitionsbereich der Umkehrfunktion $D_{f^{-1}}$ dem Wertebereich der Ausgangsfunktion über dem umgekehrten Intervall $I$ , $W_{f}$ , entspricht, da ja jeder y-Wert der Funktion auf einen x-Wert der Umkehrfunktion abgebildet wird. Analog zeigt man, dass der Wertebereich der Umkehrfunktion dem Intervall $I$ entspricht, über dem die Funktion umgekehrt werde.

Berechnung der Umkehrfunktion

Die einfachste Art und Weise die Umkehrfunktion zu erstellen, ist der Variablentausch. Für jedes $x$ in der Ausgangsfunktion setzt man ein $y$ und umgekehrt. Dies ist nichts anderes, als eine Vertauschung der Zuordnung. Sodann stellt man wie gewohnt nach $y$ um. Die gewonnene Funktion ist die Umkehrfunktion.