MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Hyperbelfunktionen

Kommen wir zum Schluss unserer Besprechung über die Differentiation von Funktionen zur wahrscheinlich speziellsten Funktionsgruppe innerhalb der in der Oberstufe besprochenen Funktionen, die eigener Ableitungsregeln bedarf. Diese sogenannten 'Hyperbelfunktionen' werden auch nicht in allen Bundesländern angesprochen und sind ohnehin meist ein Thema für Leistungs- bzw. Schwerpunktkurse.

Ableitung des Sinus Hyperbolicus

Über die Definition des Sinus Hyperbolicus lässt sich das Differenzieren auf ein bereits lösbares Problem zurückführen.

Da $\sinh(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$, können wir auch letzteren Term mit Hilfe der Summenregel und der Kettenregel ableiten:

$f(x)=\sinh(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$

Der letzte Ausdruck ist aber nichts anderes als die Definition des Kosinus Hyperbolicus, womit wir bewiesen haben, dass die Ableitung des Sinus Hyperbolicus dem Kosinus Hyperbolicus entspricht.

Ableitung des Sinus Hyperbolicus

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus entspricht dem Kosinus Hyperbolicus.

$f(x)=\sinh(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=\cosh(x)$

 

Ableitung des Kosinus Hyperbolicus

Analog lässt sich nun zeigen, dass die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus dem Sinus Hyperbolicus entspricht. Der Beweis ist direkt einleuchtend über die Erkenntnis der Ableitung des Sinus Hyperbolicus und sei dem Leser überlassen.

Ableitung des Kosinus Hyperbolicus

Die Ableitung des Kosinus Hyperbolikus entspricht dem Sinus Hyperbolicus.

$f(x)=\cosh(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=\sinh(x)$