Unter einer geometrischen Folge versteht man eine Folge, bei der zwei aufeinanderfolgende Glieder stets den gleichen Quotienten q {\displaystyle q\,} haben.
a n + 1 a n = q {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q}
a n = a 1 ∗ q n − 1 {\displaystyle a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\,}
s n = a 1 1 − q n 1 − q ; q ≠ 1 {\displaystyle s_{n}=a_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\ ;\ q\neq 1}
s n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n {\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\,}
s n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + . . . + a 1 q n − 1 {\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}\,}
s n = a 1 + q ( a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + . . . + a 1 q n − 2 ) {\displaystyle s_{n}=a_{1}+q(a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-2})\,}
s n = a 1 + q ( s n − a 1 q n − 1 ) {\displaystyle s_{n}=a_{1}+q(s_{n}-a_{1}q^{n-1})\,}
s n = a 1 + q s n − a 1 q n ) {\displaystyle s_{n}=a_{1}+qs_{n}-a_{1}q^{n})\,}
s n − q s n = a 1 − a 1 q n {\displaystyle s_{n}-qs_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\,}
s n ( 1 − q ) = a 1 ( 1 − q n ) {\displaystyle s_{n}(1-q)=a_{1}(1-q^{n})\,}
s n = a 1 1 − q n 1 − q {\displaystyle s_{n}=a_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\ } q.e.d.
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q.e.d.
