MathGymOS/ Analysis/ Kurvendiskussion/ Symmetrie

Zu einer vollständigen Untersuchung der Funktion gehört eigentlich auch eine Untersuchung auf Symmetrie. Diese ist aber schnell zu erledigen.

Achsen- und Punktsymmetrie in der Schule

Die einzigen beiden Symmetrieformen, die in der Schule behandelt werden sind die Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse und die Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs. Beide Symmetrieformen sind sehr einfach zu überprüfen, während alle anderen relativ aufwändig wären - bei wenig Informationsgewinn.

Eine Achsensymmetrie liegt dann vor, wenn sich eine Hälfte des Graphen durch Spiegelung an einer senkrechten Spiegelachse ergibt. Ist diese Achse die y-Achse, so spricht man von „Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse“. In dem Fall muss jeder y-Wert im negativen x-Bereich mit demjenigen im positiven x-Bereich übereinstimmen.

Es gilt also:

$f(-x)=f(x)$

Eine Punktsymmetrie hingegen liegt vor, wenn sich jeder Punkt rechts vom Symmetriepunkt durch Spiegelung eines Punktes links davon ergibt. In der Schule wird vorwiegend die Symmetrie am Koordinatenursprung behandelt. In der Sekundarstufe I wurde bereits bewiesen, dass sich bei einer Punktspiegelung am Ursprung lediglich die Vorzeichen des Punktes vertauschen. Dieses Wissen können wir auf die gesamte Funktion erweitern und es gilt:

$f(-x)=-f(x)$

Symmetrieregeln

Bei einer Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse gilt:

$f(-x)=f(x)$

Bei einer Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs gilt:

$f(-x)=-f(x)$

 

Symmetrien bei ganzrationalen Funktionen

Bei den meisten ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion) tritt theoretisch eine Symmetrie auf, entweder Achsen- oder Punktsymmetrie. Allerdings treten nur selten Punkt- oder Achsensymmetrien nach dem oben beschriebenen Schema auf.

Um diese einfach zu erkennen kann folgender Trick hilfreich sein:

• Die mögliche Symmetrie (Achsen- oder Punktsymmetrie) wird durch den Grad des höchsten Monoms angegeben.
• Ist der Exponent dieses Monoms gerade, so kann nur eine Achsensymmetrie auftreten, andernfalls kann nur eine Punktsymmtrie auftreten.
• Des Weiteren betrachtet man nun alle anderen Monome: Sind sie alle gerade (oder 0), so liegt eine Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor, sind alle ungerade (und ungleich 0) liegt eine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.
• Bei allen anderen Fällen können gegebenenfalls andere Symmetriepunkte/Symmetrieachsen gefunden werden, Achsen- und Punktsymmetrien sind aber nicht möglich.

Symmetrien bei Exponentialfunktionen

Die zweite, häufig untersuchte Funktionsgruppe in der Oberstufenanalysis ist die Gruppe der Exponentialfunktionen. Hier verläuft die Symmetriesuche natürlich analog zum in der Regel genannten Schema, jedoch tritt hier fast nie eine Symmetrie auf, da die $e$-Funktion selbst nicht symmetrisch in $\mathbb {R}$ ist.

Beispiel: Symmetrien

Zunächst betrachten wir die Funktion $f(x)=x^{4}+4\cdot x^{2}+1$. Man erkennt, dass diese Funktion achsensymmetrisch ist, denn es gilt:

$f(-x)=(-x)^{4}+4\cdot (-x)^{2}+1=x^{4}+4\cdot x^{2}+1=f(x)$

Als weiteres Beispiel betrachten wir die Funktion $f(x)=x^{5}-3\cdot x^{3}+7\cdot x-3$. Hier könnte man den Fehler machen, die Funktion als punktsymmetrisch aufzufassen, dies ist sie jedoch nicht, wie die einfache Rechnung zeigt:

$f(-x)=(-x)^{5}-3\cdot (-x)^{3}+7\cdot (-x)-3=-x^{5}+3\cdot x^{3}-7\cdot x-3\neq -x^{5}+3\cdot x^{3}-7\cdot x+3=-f(x)$

Ein weiteres Beispiel ist die Funktion $f(x)=\sin(x)$. Ist sie symmetrisch? Tatsächlich gilt:

$f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)$

Die Funktion ist also punktsymmetrisch (Der Kosinus ist dagegen achsensymmetrisch). Um dies zu verstehen kann man sich die Funktion entweder aufzeichnen, oder aber die Beziehungen im Einheitskreis studieren.

Als letztes Beispiel betrachten wir die Funktion $f(x)=e^{x^{2}}$. Dies ist ein Beispiel für eine achsensymmetrische Exponentialfunktion, denn es gilt:

$f(-x)=e^{(-x)^{2}}=e^{x^{2}}=f(x)$

 

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