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Beweise mit Hilfe des Skalarproduktes

Mit Hilfe der vorangegangenen Eigenschaften des Skalarproduktes lassen sich viele elementargeometrische Sätze leichter beweisen. Als Beispiel soll hier der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dienen.

Beispiel: Der Höhensatz

Voraussetzungen:

1. ${\vec {a}}-{\vec {p}}={\vec {h}}={\vec {q}}+{\vec {b}}$
2. ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$
3. ${\vec {h}}\perp {\vec {q}}$ und ${\vec {h}}\perp {\vec {p}}$
4. ${\vec {p}}$ und ${\vec {q}}$ haben die gleiche Richtung und Orientierung.

Zu zeigen: $\left|{\vec {h}}\right|^{2}=\left|{\vec {p}}\right|\cdot \left|{\vec {q}}\right|$

Beweis: Aus 1. folgt ${\vec {a}}={\vec {h}}+{\vec {p}}$ und ${\vec {b}}={\vec {h}}-{\vec {q}}$

Aus 2. folgt $0={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left({\vec {h}}+{\vec {p}}\right)\cdot \left({\vec {h}}-{\vec {q}}\right)$

Also

$0=\underbrace {{\vec {h}}\cdot {\vec {h}}} _{=\left|{\vec {h}}\right|^{2}}-\underbrace {{\vec {h}}\cdot {\vec {q}}} _{=0\Leftarrow \mathrm {3.} }+\underbrace {{\vec {h}}\cdot {\vec {p}}} _{=0\Leftarrow \mathrm {3.} }-\underbrace {{\vec {p}}\cdot {\vec {q}}} _{=\left|{\vec {p}}\right|\cdot \left|{\vec {q}}\right|\Leftarrow \mathrm {4.} }$

Es folgt $\left|{\vec {h}}\right|^{2}=\left|{\vec {p}}\right|\cdot \left|{\vec {q}}\right|\qquad \Box$

 

Weitere Beispiele für elementargeometrische Sätze, die sich auf ähnliche Art beweisen lassen sind:

• der Kathetensatz,
• der Satz des Pythagoras in Vektorschreibweise: ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\Leftrightarrow \left|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}=\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}$
• der Satz des Thales.

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