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Abstellraum/ Banachscher Fixpunktsatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Vertiefung für Fortgeschrittene: Der Banachsche Fixpunktsatz in

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Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums können wir nun ein praktisches Konvergenzkriterium, den Banachschen Fixpunktsatz herleiten. Für diesen benötigen wir zunächst die folgenden Definitionen:

Definition (Fixpunkt)

Sei und eine Abbildung. Ein heißt Fixpunkt von , falls

Nun kann eine Abbildung beliebig viele Fixpunkte haben. So hat beispielsweise jedes als Fixpunkt. Dies kann allerdings nicht der Fall sein, wenn wir die Voraussetzungen an verschärfen:

Definition (Kontraktion)

Sei . Eine Abbildung heißt Kontraktion, falls es für alle ein gibt mit

Nun gilt der folgende

Satz (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Sei und eine Kontraktion, dann hat höchstens einen Fixpunkt.

Beweis (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Dies zeigen wir am besten mit Widerspruch. Wir nehmen an, hat zwei Fixpunkte und , d.h. es gilt und . Dann folgt aber

Also hat höchstens einen Fixpunkt.

Die Kontraktion benötigen wir nun als Voraussetzung für den Fixpunktsatz:

Satz (Fixpunktsatz von Banach)

Sei ein abgeschlossenens Intervall und eine Kontraktion, dann gilt

  • Für jede in konvergente Folge mit gilt .
  • Die rekursiv definierte Folge (Fixpunktiteration) mit einem beliebigen Startwert konvergiert gegen den Fixpunkt von .