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Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Eigenschaften des euklidischen Vektorraums

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Der dreidimensionale euklidische Koordinatenraum

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Den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum mit seinem kartesischen Koordinatensystem kennst du sicherlich auch aus der Schule. Wir wollen diesen Vektorraum hier etwas genauer unter die Lupe nehmen.

Der 3-dimensionale reelle Koordinatenraum ist die Menge der 3-Tupel wobei die reelle Zahlen sind. Man bezeichnet die Elemente des als Vektoren oder als Punkte. Wir schreiben die Elemente des in der dir sicherlich geläufigen Form

Mit folgender Vektoraddition und S-Multiplikation wird zu einem Vektorraum (siehe auch [1])

Sei

Das Skalarprodukt ist definiert durch

.

Damit wir dem Skalarprodukt zweier Vektoren eine reele Zahl, eben ein Skalar zugeordnet.

Mit diesem Skalarprodukt ist der ein euklidischer Vektorraum.

Geometrisch kann das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert werden durch:

Seien und die Längen der Vektoren und und bezeichne den von und eingeschlossenen Winkel, so ist

Bemerkungen

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Ist dann ist und die Vektoren sind parallel und gleichgerichtet. Es gilt

Ist dann ist und die Vektoren sind orthogonal.

Hinweis

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich , dann stehen die Vektoren aufeinander senkrecht.

Länge eines Vektors

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Sei

Der euklidische Vektorraum ist zunächst der Raum unserer Anschauung, als der . Den nennt man auch die euklidische Ebene. Im Abschnitt Euklidischer Raum findest Du eine detaillierte Darstellung des euklidischen Vektorraums und seiner Eigenschaften. Studiere also dort die euklidischen Vektorräume.

  1. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Was_ist_lineare_Algebra%3F#Vektorr.C3.A4ume