Abstellraum/ Uneigentliche Integrale – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Beim Uneigentlichen Integral handelt es sich um eine Erweiterung des Integrallbegriffes auf unbeschränkte Intervalle und unbeschränkte Funktionen.

Motivation

Wir haben bereits in den Kapiteln Das Integral und Riemann-Integral verschiedene Definitionen des Begriffes Integral von $f$ kennengelernt. Alle diese Definitionen haben eines gemeinsam, dass der Integrand $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ beschränkt ist. Dies stellt eine große Einschränkung dar, da somit viele Funktionen schon per Definition nicht integrierbar sind.

To-Do:

Beispiel einer nicht integrierbaren Funktion

To-Do:

Verständnisaufgabe: Welche Funktionen sind integrierbar?

Aus diesem Grund wollen wir daher unseren Integralbegriff erweitern. Einerseits soll es dann auch möglich sein, Funktionen über unbeschränkte Intervalle wie $[-\infty ,5]$ zu integrieren. Andererseits möchten wir auch Funktionen integrieren, die auf ihrem Rand ihres Definitionsbereiches gegen $\infty$ oder $-\infty$ konvergieren, daher unbeschränkt sind.

Die Erweiterung des Integrallbegriffes auf unbeschränkte Intervalle wird uneigentliches Integral 1. Art genannt, die auf unbeschränkte Funktionen uneigentliches Integral 2. Art.

Definition

To-Do:

Definition einfügen

Beispiele

To-Do:

Beispiel uneigentlicher Integrale einfüge